$a = \sqrt{11} + \sqrt{5}$、$b = \sqrt{11} - \sqrt{5}$ のとき、(1) $a^2 - b^2$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a = \sqrt{11} + \sqrt{5}$、$b = \sqrt{11} - \sqrt{5}$ のとき、(1) $a^2 - b^2$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a^2 - b^2$ を計算する。

$a^2 - b^2$ は $(a+b)(a-b)$ と因数分解できるので、まず $a+b$ と $a-b$ を求める。

$a+b = (\sqrt{11} + \sqrt{5}) + (\sqrt{11} - \sqrt{5}) = 2\sqrt{11}$

$a-b = (\sqrt{11} + \sqrt{5}) - (\sqrt{11} - \sqrt{5}) = 2\sqrt{5}$

したがって、

$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) = (2\sqrt{11})(2\sqrt{5}) = 4\sqrt{55}$

3. 最終的な答え

(1) $4\sqrt{55}$