$a = \sqrt{11} + \sqrt{5}$, $b = \sqrt{11} - \sqrt{5}$ のとき、以下の式の値を求めます。 (1) $a^2 - b^2$ (2) $(a+b)^2 - (a^2 + b^2)$ (3) $\frac{a+b}{b} + \frac{b}{a}$

1. 問題の内容

$a = \sqrt{11} + \sqrt{5}$, $b = \sqrt{11} - \sqrt{5}$ のとき、以下の式の値を求めます。

(1) $a^2 - b^2$

(2) $(a+b)^2 - (a^2 + b^2)$

(3) $\frac{a+b}{b} + \frac{b}{a}$

2. 解き方の手順

(1) $a^2 - b^2$ について

$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ の公式を利用します。

$a+b = (\sqrt{11} + \sqrt{5}) + (\sqrt{11} - \sqrt{5}) = 2\sqrt{11}$

$a-b = (\sqrt{11} + \sqrt{5}) - (\sqrt{11} - \sqrt{5}) = 2\sqrt{5}$

$a^2 - b^2 = (2\sqrt{11})(2\sqrt{5}) = 4\sqrt{55}$

(2) $(a+b)^2 - (a^2 + b^2)$ について

$(a+b)^2 - (a^2 + b^2) = a^2 + 2ab + b^2 - a^2 - b^2 = 2ab$

$ab = (\sqrt{11} + \sqrt{5})(\sqrt{11} - \sqrt{5}) = (\sqrt{11})^2 - (\sqrt{5})^2 = 11 - 5 = 6$

$2ab = 2 \times 6 = 12$

(3) $\frac{a+b}{b} + \frac{b}{a}$ について

$\frac{a+b}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a}{b} + 1 + \frac{b}{a} = \frac{a^2 + ab + b^2}{ab}$

$a^2 = (\sqrt{11} + \sqrt{5})^2 = 11 + 2\sqrt{55} + 5 = 16 + 2\sqrt{55}$

$b^2 = (\sqrt{11} - \sqrt{5})^2 = 11 - 2\sqrt{55} + 5 = 16 - 2\sqrt{55}$

$ab = (\sqrt{11} + \sqrt{5})(\sqrt{11} - \sqrt{5}) = 11 - 5 = 6$

$a^2 + b^2 = (16 + 2\sqrt{55}) + (16 - 2\sqrt{55}) = 32$

$\frac{a+b}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2 + b^2 + ab}{ab} = \frac{32 + 6}{6} = \frac{38}{6} = \frac{19}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $4\sqrt{55}$

(2) $12$

(3) $\frac{19}{3}$