二項定理を利用して、${}_9C_0 + {}_9C_1 + {}_9C_2 + \dots + {}_9C_9$ の値を求める。

1. 問題の内容

二項定理を利用して、${}_9C_0 + {}_9C_1 + {}_9C_2 + \dots + {}_9C_9$ の値を求める。

2. 解き方の手順

二項定理 $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_nC_k a^{n-k} b^k$ を利用する。

$a=1$, $b=1$, $n=9$ を代入すると、

$(1+1)^9 = \sum_{k=0}^{9} {}_9C_k 1^{9-k} 1^k = \sum_{k=0}^{9} {}_9C_k = {}_9C_0 + {}_9C_1 + {}_9C_2 + \dots + {}_9C_9$

よって、

${}_9C_0 + {}_9C_1 + {}_9C_2 + \dots + {}_9C_9 = (1+1)^9 = 2^9$

$2^9 = 512$

3. 最終的な答え

512