数列 $\{a_n\}$ は初項 $1$ 、公差 $d$ の等差数列であり、$a_4 = 10$ を満たすとする。数列 $\{b_n\}$ は一般項 $b_n = 2^{n-1}$ であるとする。数列 $\{a_n\}$ を群に分け、第 $k$ 群が $b_k$ 個の項からなるものとし、第 $k$ 群に含まれる項の総和を $T_k$ とする。以下の問いに答える。 (1) 第4群の最後の項は数列 $\{a_n\}$ の第何項か、またその値はいくつか。 (2) $a_m = 55$ を満たす $m$ は何か、また $a_m$ は第何群に含まれるか。第 $k$ 群の最初の項は何か、また第 $k$ 群に含まれる項の総和 $T_k$ は何か。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ は初項 $1$ 、公差 $d$ の等差数列であり、$a_4 = 10$ を満たすとする。数列 $\{b_n\}$ は一般項 $b_n = 2^{n-1}$ であるとする。数列 $\{a_n\}$ を群に分け、第 $k$ 群が $b_k$ 個の項からなるものとし、第 $k$ 群に含まれる項の総和を $T_k$ とする。以下の問いに答える。

(1) 第4群の最後の項は数列 $\{a_n\}$ の第何項か、またその値はいくつか。

(2) $a_m = 55$ を満たす $m$ は何か、また $a_m$ は第何群に含まれるか。第 $k$ 群の最初の項は何か、また第 $k$ 群に含まれる項の総和 $T_k$ は何か。

2. 解き方の手順

まず、$a_4 = 1+3d = 10$ より、$d = 3$ となる。

したがって、$a_n = 1 + (n-1)3 = 3n - 2$ である。

(1) 第 $k$ 群は $2^{k-1}$ 個の項からなる。

第1群から第3群までの項の個数は、$2^0 + 2^1 + 2^2 = 1 + 2 + 4 = 7$ 個である。

したがって、第4群の最後の項は、数列 $\{a_n\}$ の第 $7 + 2^3 = 7 + 8 = 15$ 項である。

その値は、$a_{15} = 3 \times 15 - 2 = 45 - 2 = 43$ である。

(2) $a_m = 3m - 2 = 55$ より、$3m = 57$ なので、$m = 19$ である。

第1群から第 $k-1$ 群までの項の個数の合計は、

$\sum_{i=1}^{k-1} 2^{i-1} = \sum_{i=0}^{k-2} 2^i = \frac{1-2^{k-1}}{1-2} = 2^{k-1} - 1$

$2^{k-1} - 1 < 19 \le 2^k - 1$ を満たす $k$ を求める。

$2^{k-1} < 20 \le 2^k$

$k=5$ のとき、$2^4 = 16 < 20 \le 2^5 = 32$ となり、条件を満たす。

したがって、$a_{19}$ は第5群に含まれる。

第5群の最初の項は、$2^{5-1} - 1 + 1 = 2^4 = 16$ 番目の項であり、$a_{16} = 3 \times 16 - 2 = 48 - 2 = 46$ である。

第 $k$ 群の最初の項は $a_{2^{k-1}}$ であるから、$a_{2^{k-1}} = 3 \times 2^{k-1} - 2$ と表せる。

第 $k$ 群の項数は $2^{k-1}$ 個であるから、

$T_k = \frac{2^{k-1}}{2} (2a_{2^{k-1}} + (2^{k-1}-1)3)$

$= 2^{k-2}(2(3\cdot 2^{k-1} - 2) + 3(2^{k-1}-1))$

$= 2^{k-2}(6\cdot 2^{k-1} - 4 + 3\cdot 2^{k-1} - 3)$

$= 2^{k-2}(9\cdot 2^{k-1} - 7) = 2^{k-2}(9 \cdot 2^{k-1} - 7)$

$= 2^{k-2} \cdot (9 \cdot 2^{k-1} - 7)$

3. 最終的な答え

ア: 3

イ: 3

ウ: 2

エオ: 15

カキ: 43

クケ: 19

コ: 5

サシ: 46

スセソタ: $2^{k-2} \cdot (9 \cdot 2^{k-1} - 7)$

チ: k-1

ツ: 9

テ: k-1

ト: 7