数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = 3a_n - 2$ であるとき、以下の問いに答える。 (1) $a_{n+1} = \frac{3}{2} a_n$ であることを示せ。 (2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = 3a_n - 2$ であるとき、以下の問いに答える。

(1) $a_{n+1} = \frac{3}{2} a_n$ であることを示せ。

(2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $S_n = 3a_n - 2$ である。

$n \ge 2$ のとき、$S_{n-1} = 3a_{n-1} - 2$ である。

$S_n - S_{n-1} = a_n$ であるから、

$3a_n - 2 - (3a_{n-1} - 2) = a_n$

$3a_n - 2 - 3a_{n-1} + 2 = a_n$

$2a_n = 3a_{n-1}$

$a_n = \frac{3}{2} a_{n-1}$

よって、$a_{n+1} = \frac{3}{2} a_n$ が示された。

(2) $S_1 = a_1$ より、$a_1 = 3a_1 - 2$

$2a_1 = 2$

$a_1 = 1$

(1)より、数列 $\{a_n\}$ は初項 $a_1=1$, 公比 $\frac{3}{2}$ の等比数列であるから、

$a_n = a_1 \left(\frac{3}{2}\right)^{n-1} = \left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}$

3. 最終的な答え

(1) $a_{n+1} = \frac{3}{2} a_n$

(2) $a_n = \left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}$