100以下の自然数について、以下の問いに答える。 (1) 7の倍数の個数を求める。 (2) 7の倍数でない数の個数を求める。 (3) 5の倍数かつ7の倍数である数の個数を求める。 (4) 5の倍数または7の倍数である数の個数を求める。

1. 問題の内容

100以下の自然数について、以下の問いに答える。

(1) 7の倍数の個数を求める。

(2) 7の倍数でない数の個数を求める。

(3) 5の倍数かつ7の倍数である数の個数を求める。

(4) 5の倍数または7の倍数である数の個数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 7の倍数の個数

100以下の7の倍数は、$7 \times 1, 7 \times 2, \dots, 7 \times n$という形をしている。

$7n \le 100$を満たす最大の整数nを求めればよい。

$n \le \frac{100}{7} \approx 14.28$なので、$n=14$となる。

よって、7の倍数は14個。

(2) 7の倍数でない数の個数

100以下の自然数は100個ある。そのうち7の倍数は14個なので、7の倍数でない数は$100 - 14$で求められる。

(3) 5の倍数かつ7の倍数の個数

5の倍数かつ7の倍数は、5と7の最小公倍数の倍数である。5と7の最小公倍数は35なので、35の倍数の個数を求める。

100以下の35の倍数は、$35 \times 1, 35 \times 2, \dots, 35 \times n$という形をしている。

$35n \le 100$を満たす最大の整数nを求めればよい。

$n \le \frac{100}{35} \approx 2.85$なので、$n=2$となる。

よって、35の倍数は2個。

(4) 5の倍数または7の倍数の個数

5の倍数の個数は、$\frac{100}{5} = 20$個。

7の倍数の個数は、(1)より14個。

5の倍数かつ7の倍数の個数は、(3)より2個。

5の倍数または7の倍数の個数は、包除原理より

(5の倍数の個数) + (7の倍数の個数) - (5の倍数かつ7の倍数の個数)で求められる。

$20 + 14 - 2 = 32$

3. 最終的な答え

(1) 14個

(2) 86個

(3) 2個

(4) 32個