$(3x+2y)^5$ の展開式における $x^2 y^3$ の項の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

$(3x+2y)^5$ の展開式における $x^2 y^3$ の項の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

二項定理を用いて展開します。

一般に、$(a+b)^n$ の展開式における $a^k b^{n-k}$ の項の係数は ${}_n C_k$ です。

今回の問題では、$(3x+2y)^5$ の展開式における $x^2 y^3$ の項の係数を求めます。

この項は ${}_5 C_2 (3x)^2 (2y)^3$ で表されます。

${}_5 C_2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

$(3x)^2 = 9x^2$

$(2y)^3 = 8y^3$

よって、${}_5 C_2 (3x)^2 (2y)^3 = 10 \times 9x^2 \times 8y^3 = 10 \times 9 \times 8 x^2 y^3 = 720 x^2 y^3$

したがって、$x^2 y^3$ の項の係数は $720$ です。

3. 最終的な答え

720