$x > 0$ のとき、不等式 $x + \frac{25}{x} \geq 10$ を証明し、等号が成り立つ条件を求める問題です。

1. 問題の内容

$x > 0$ のとき、不等式 $x + \frac{25}{x} \geq 10$ を証明し、等号が成り立つ条件を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、相加平均と相乗平均の関係を利用します。$x > 0$ かつ $\frac{25}{x} > 0$ なので、相加平均と相乗平均の関係より

$\frac{x + \frac{25}{x}}{2} \geq \sqrt{x \cdot \frac{25}{x}}$

$x + \frac{25}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{25}{x}}$

よって、ミに入る数字は2です。

次に、右辺を計算します。

$2\sqrt{x \cdot \frac{25}{x}} = 2\sqrt{25} = 2 \cdot 5 = 10$

したがって、

$x + \frac{25}{x} \geq 10$

よって、ムメに入る数字は10です。

等号が成り立つのは、$x = \frac{25}{x}$ のときです。したがって、モヤには25が入ります。

$x = \frac{25}{x}$ を解くと、$x^2 = 25$ となります。$x > 0$ より、$x = 5$ です。よって、ユに入る数字は5です。

3. 最終的な答え

ミ: 2

ムメ: 10

モヤ: 25

ユ: 5