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複素数の計算問題です。以下の4つの複素数の式を計算して、簡単にしてください。 (1) $\frac{2-i}{3+i}$ (2) $\frac{4}{1-i}$ (3) $\frac{2-i}{2+i}$ (4) $\frac{1}{2i}$

代数学複素数複素数の計算分数
2025/4/6

1. 問題の内容

複素数の計算問題です。以下の4つの複素数の式を計算して、簡単にしてください。
(1) 2−i3+i\frac{2-i}{3+i}
(2) 41−i\frac{4}{1-i}
(3) 2−i2+i\frac{2-i}{2+i}
(4) 12i\frac{1}{2i}

2. 解き方の手順

複素数の分数の計算では、分母の共役複素数を分母と分子に掛けて、分母を実数にします。
(1) 2−i3+i\frac{2-i}{3+i}
分母の共役複素数は 3−i3-i なので、分母と分子に 3−i3-i を掛けます。
2−i3+i=(2−i)(3−i)(3+i)(3−i)\frac{2-i}{3+i} = \frac{(2-i)(3-i)}{(3+i)(3-i)}
=6−2i−3i+i29−i2= \frac{6 - 2i - 3i + i^2}{9 - i^2}
=6−5i−19−(−1)= \frac{6 - 5i - 1}{9 - (-1)}
=5−5i10= \frac{5 - 5i}{10}
=12−12i= \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i
(2) 41−i\frac{4}{1-i}
分母の共役複素数は 1+i1+i なので、分母と分子に 1+i1+i を掛けます。
41−i=4(1+i)(1−i)(1+i)\frac{4}{1-i} = \frac{4(1+i)}{(1-i)(1+i)}
=4+4i1−i2= \frac{4+4i}{1 - i^2}
=4+4i1−(−1)= \frac{4+4i}{1 - (-1)}
=4+4i2= \frac{4+4i}{2}
=2+2i= 2+2i
(3) 2−i2+i\frac{2-i}{2+i}
分母の共役複素数は 2−i2-i なので、分母と分子に 2−i2-i を掛けます。
2−i2+i=(2−i)(2−i)(2+i)(2−i)\frac{2-i}{2+i} = \frac{(2-i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}
=4−2i−2i+i24−i2= \frac{4 - 2i - 2i + i^2}{4 - i^2}
=4−4i−14−(−1)= \frac{4 - 4i - 1}{4 - (-1)}
=3−4i5= \frac{3 - 4i}{5}
=35−45i= \frac{3}{5} - \frac{4}{5}i
(4) 12i\frac{1}{2i}
分母を実数化するために、分母と分子に −2i-2i を掛けるか、または分母と分子に ii を掛けます。
ここでは、分母と分子に ii を掛けます。
12i=1⋅i2i⋅i\frac{1}{2i} = \frac{1 \cdot i}{2i \cdot i}
=i2i2= \frac{i}{2i^2}
=i2(−1)= \frac{i}{2(-1)}
=i−2= \frac{i}{-2}
=−12i= -\frac{1}{2}i

3. 最終的な答え

(1) 12−12i\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i
(2) 2+2i2+2i
(3) 35−45i\frac{3}{5} - \frac{4}{5}i
(4) −12i-\frac{1}{2}i

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