$a>0, b>0$ とする。双曲線 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上の $x>0$ の部分に点 $P$ をとる。点 $P$ における接線と漸近線との 2 交点を、$y$ 座標の大きい方から順に $A, B$ とするとき、次の問いに答えよ。 (1) $P(p, q)$ として、$A, B$ の座標を $a, b, p, q$ で表せ。 (2) $\triangle OAB$ の面積が点 $P$ の位置によらず一定であることを示せ。

1. 問題の内容

$a>0, b>0$ とする。双曲線 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上の $x>0$ の部分に点 $P$ をとる。点 $P$ における接線と漸近線との 2 交点を、$y$ 座標の大きい方から順に $A, B$ とするとき、次の問いに答えよ。

(1) $P(p, q)$ として、$A, B$ の座標を $a, b, p, q$ で表せ。

(2) $\triangle OAB$ の面積が点 $P$ の位置によらず一定であることを示せ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、点 $P(p, q)$ における双曲線 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ の接線の方程式を求める。接線の方程式は、

$\frac{px}{a^2} - \frac{qy}{b^2} = 1$

次に、双曲線の漸近線を求める。漸近線の方程式は、

$y = \pm \frac{b}{a}x$

接線と漸近線の交点を求める。

漸近線 $y = \frac{b}{a}x$ との交点 $A$ の座標を求める。接線の方程式に代入すると、

$\frac{px}{a^2} - \frac{q}{b^2}\frac{b}{a}x = 1$

$\frac{px}{a^2} - \frac{q}{ab}x = 1$

$\frac{pbx - qa x}{a^2 b} = 1$

$x(pb - qa) = a^2 b$

$x = \frac{a^2 b}{pb - qa}$

また、$P(p,q)$は双曲線上の点であるから、

$\frac{p^2}{a^2} - \frac{q^2}{b^2} = 1$

$b^2 p^2 - a^2 q^2 = a^2 b^2$

$(bp - aq)(bp + aq) = a^2 b^2$

従って、$bp - aq = \frac{a^2 b^2}{bp + aq}$

$x = \frac{a^2b (bp + aq)}{a^2 b^2} = \frac{bp + aq}{b}$

$y = \frac{b}{a}x = \frac{bp + aq}{a}$

よって、$A$ の座標は $\left(\frac{bp + aq}{b}, \frac{bp + aq}{a}\right)$

次に、漸近線 $y = -\frac{b}{a}x$ との交点 $B$ の座標を求める。接線の方程式に代入すると、

$\frac{px}{a^2} + \frac{q}{b^2}\frac{b}{a}x = 1$

$\frac{px}{a^2} + \frac{q}{ab}x = 1$

$\frac{pbx + qa x}{a^2 b} = 1$

$x(pb + qa) = a^2 b$

$x = \frac{a^2 b}{pb + qa}$

$y = -\frac{b}{a}x = -\frac{ab^2}{pb + qa}$

よって、$B$ の座標は $\left(\frac{a^2 b}{pb + qa}, -\frac{ab^2}{pb + qa}\right)$

(2)

$\triangle OAB$ の面積 $S$ は、座標を用いて

$S = \frac{1}{2} \left| x_A y_B - x_B y_A \right|$

$S = \frac{1}{2} \left| \frac{bp + aq}{b} \left( -\frac{ab^2}{pb + qa} \right) - \frac{a^2 b}{pb + qa} \frac{bp + aq}{a} \right|$

$S = \frac{1}{2} \left| -a (bp + aq) \frac{b}{pb + qa} - b(bp + aq) \frac{a}{pb + qa} \right|$

$S = \frac{1}{2} \left| -ab \frac{bp + aq}{pb + qa} - ab \frac{bp + aq}{pb + qa} \right|$

$S = \frac{1}{2} \left| -2ab \right|$

$S = ab$

これは点 $P$ の位置によらず一定である。

3. 最終的な答え

(1) $A\left(\frac{ap + \frac{a^2 q}{b}}{a},\frac{bp + \frac{a^2 q}{b}}{b}\right)$, $B\left(\frac{ap - \frac{a^2 q}{b}}{a},\frac{-bp + \frac{a^2 q}{b}}{b}\right)$.

(2) $\triangle OAB$ の面積は $ab$ となり、点 $P$ の位置によらず一定である。

$A \left( \frac{a(bp+aq)}{bp}, \frac{bp+aq}{a} \right)$, $B \left( \frac{a^2b}{bp+aq}, - \frac{ab^2}{bp+aq} \right)$

$\triangle OAB$ の面積は $ab$.

(1) $A\left(\frac{a(bp+aq)}{bp},\frac{ap}{a}\right)$, $B\left(\frac{a^2b}{bp+aq},-\frac{b}{ab}\right)$