半径 $r$ mの半円形の花壇の周りに、幅 $a$ mの道がある。道の真ん中を通る半円の弧の長さを $l$ m、道の面積を $S$ m$^2$とする。このとき、$S=al$となることを証明する。

1. 問題の内容

半径 $r$ mの半円形の花壇の周りに、幅 $a$ mの道がある。道の真ん中を通る半円の弧の長さを $l$ m、道の面積を $S$ m$^2$とする。このとき、$S=al$となることを証明する。

2. 解き方の手順

まず、道の面積$S$を求める。

道の面積は、外側の半円の面積から花壇の半円の面積を引いたものである。

外側の半円の半径は$r+a$なので、面積は$\frac{1}{2}\pi (r+a)^2$。

花壇の半円の面積は$\frac{1}{2}\pi r^2$。

したがって、道の面積$S$は、

$$S = \frac{1}{2}\pi (r+a)^2 - \frac{1}{2}\pi r^2$$

$$S = \frac{1}{2}\pi (r^2 + 2ar + a^2) - \frac{1}{2}\pi r^2$$

$$S = \frac{1}{2}\pi (2ar + a^2)$$

$$S = \pi a r + \frac{1}{2} \pi a^2$$

次に、道の真ん中を通る半円の弧の長さ$l$を求める。

道の真ん中を通る半円の半径は$r+\frac{a}{2}$なので、弧の長さ$l$は、

$$l = \pi (r + \frac{a}{2})$$

$$l = \pi r + \frac{1}{2}\pi a$$

したがって、$al$は、

$$al = a(\pi r + \frac{1}{2}\pi a)$$

$$al = \pi a r + \frac{1}{2}\pi a^2$$

これは$S$に等しい。

よって、$S=al$が成り立つ。

3. 最終的な答え

$S = \pi a r + \frac{1}{2} \pi a^2$

$l = \pi r + \frac{1}{2}\pi a$

$al = \pi a r + \frac{1}{2}\pi a^2$

よって、$S=al$

（証明終わり）