三角形ABCにおいて、$b=2\sqrt{3}$, $c=3-\sqrt{3}$, $A=120^\circ$のとき、残りの辺の長さ$a$と角$B$, $C$の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$b=2\sqrt{3}$, $c=3-\sqrt{3}$, $A=120^\circ$のとき、残りの辺の長さ$a$と角$B$, $C$の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、余弦定理を用いて辺$a$の長さを求める。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$

$a^2 = (2\sqrt{3})^2 + (3-\sqrt{3})^2 - 2(2\sqrt{3})(3-\sqrt{3})\cos 120^\circ$

$a^2 = 12 + (9 - 6\sqrt{3} + 3) - 4\sqrt{3}(3-\sqrt{3})(-\frac{1}{2})$

$a^2 = 12 + 12 - 6\sqrt{3} + 2\sqrt{3}(3-\sqrt{3})$

$a^2 = 24 - 6\sqrt{3} + 6\sqrt{3} - 6$

$a^2 = 18$

$a = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

次に、正弦定理を用いて角$B$を求める。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

$\frac{3\sqrt{2}}{\sin 120^\circ} = \frac{2\sqrt{3}}{\sin B}$

$\sin B = \frac{2\sqrt{3} \sin 120^\circ}{3\sqrt{2}}$

$\sin B = \frac{2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{3\sqrt{2}}$

$\sin B = \frac{3}{3\sqrt{2}}$

$\sin B = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

よって、$B = 45^\circ$

最後に、三角形の内角の和は$180^\circ$であるから、角$C$を求める。

$C = 180^\circ - A - B$

$C = 180^\circ - 120^\circ - 45^\circ$

$C = 15^\circ$

3. 最終的な答え

$a = 3\sqrt{2}$

$B = 45^\circ$

$C = 15^\circ$