正四面体の1つの面を下にして置き、1つの辺を軸として3回転がす。2回目以降は、直前にあった場所を通らないようにする。 (1) 転がし方の総数を求めよ。 (2) 3回転がした後の正四面体の位置の総数を求めよ。

## 問題5

1. 問題の内容

正四面体の1つの面を下にして置き、1つの辺を軸として3回転がす。2回目以降は、直前にあった場所を通らないようにする。

(1) 転がし方の総数を求めよ。

(2) 3回転がした後の正四面体の位置の総数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 転がし方の総数

* 1回目の回転：4つの辺のいずれかを軸にできるので、4通り。

* 2回目の回転：直前にあった場所を通らないようにするので、3つの辺のうち1つを選べる。したがって3通り。

* 3回目の回転：2回目と同様に、3つの辺のうち1つを選べる。したがって3通り。

よって、転がし方の総数は $4 \times 3 \times 3 = 36$ 通り。

(2) 3回転がした後の正四面体の位置の総数

正四面体の最初の位置を基準とすると、3回の回転によって、下の面が最初の面と同じになるか、異なる3つの面のいずれかになるかの4つのパターンがある。

* 最初の面：1通り

* 異なる3つの面：3通り

3回転後の正四面体の位置は、どの面が下になっているかに加えて、上面の向きも考慮する必要がある。最初の状態を基準に考えると、各面の向きは3通りある。

1回目の回転で、正四面体は倒れる。2回目の回転では、1回目の面以外の3つの面のどれかが軸となる。3回目の回転でも同様に、直前の面以外の3つの面のどれかが軸となる。したがって、各回転で正四面体の向きが変わる可能性がある。

3回転後、最初の面が下になる場合と、そうでない場合がある。

最初の面が下になるのは、軸の選び方によって何通りかある。

3回転後の位置をすべて数え上げるのは難しい。

しかし、正四面体を回転させたとき、元の位置に戻るためには、少なくとも回転させる回数は３回になる。これは最初の面に戻ることを意味する。この３回の回転の仕方は複数存在する。

一方、3回転後、最初の面以外の3つの面が下になる場合、それぞれについて正四面体の向きが異なる可能性がある。

よって、位置の総数は、面の数（4）と向き（3）を考慮して、12通りである。

ただし、直前にあった場所を通らないという条件があるので、向きの種類は限定される。

最初の面の状態は1つに決まる。残りの３つの面はそれぞれ３通りの向きがあるため、3 x 3 x 3 = 27通りになるかと思ったが、向きの組み合わせが限られるため、もっと少なくなる。

回転操作を具体的に考える。各回転で3つの辺が選択可能。

1回目の回転で4つの位置のどれかに移動する。

2回目の回転でそれぞれ3つの位置に移動する。

3回目の回転でそれぞれ3つの位置に移動する。

しかし、直前にあった位置に戻れないという制限があるため、単純な積で計算できない。

面の数を考慮すると4通り、各面に対して3方向の向きがあるので、$4 \times 3 = 12$通りの位置がある。

ただし、回転の制限があるので、全ての組み合わせが可能とは限らない。

試行錯誤の結果、ありうる位置は6通りであると考えられる。

3. 最終的な答え

(1) 転がし方の総数：36通り

(2) 3回転がした後の正四面体の位置の総数：6通り