双曲線 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ (ただし $a > 0$, $b > 0$) がある。双曲線上の点 $P(p, q)$ (ただし $p > 0$, $q > 0$) を通り、2つの漸近線にそれぞれ平行な直線を引く。漸近線と交わる点を $y$ 座標が大きい方から順に $Q$, $R$ とする。このとき、平行四辺形 $ORPQ$ (O は原点) の面積 $S$ を求めよ。

1. 問題の内容

双曲線 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ (ただし $a > 0$, $b > 0$) がある。双曲線上の点 $P(p, q)$ (ただし $p > 0$, $q > 0$) を通り、2つの漸近線にそれぞれ平行な直線を引く。漸近線と交わる点を $y$ 座標が大きい方から順に $Q$, $R$ とする。このとき、平行四辺形 $ORPQ$ (O は原点) の面積 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、双曲線の漸近線を求める。双曲線の方程式 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ より、漸近線は $y = \pm \frac{b}{a}x$ となる。

次に、点 $P(p, q)$ を通る漸近線に平行な直線を求める。

点 $P(p, q)$ を通り、傾き $\frac{b}{a}$ の直線は $y - q = \frac{b}{a}(x - p)$ より、

$y = \frac{b}{a}x - \frac{b}{a}p + q$

点 $P(p, q)$ を通り、傾き $-\frac{b}{a}$ の直線は $y - q = -\frac{b}{a}(x - p)$ より、

$y = -\frac{b}{a}x + \frac{b}{a}p + q$

$Q$ と $R$ はそれぞれこれらの直線と漸近線との交点である。$Q$ の $y$ 座標が大きいので、$Q$ は $y=\frac{b}{a}x$ と $y = -\frac{b}{a}x + \frac{b}{a}p + q$ の交点、$R$ は $y=-\frac{b}{a}x$ と $y = \frac{b}{a}x - \frac{b}{a}p + q$ の交点となる。

$Q$ の座標を $(x_Q, y_Q)$ とすると、

$\frac{b}{a}x_Q = -\frac{b}{a}x_Q + \frac{b}{a}p + q$

$\frac{2b}{a}x_Q = \frac{b}{a}p + q$

$x_Q = \frac{p}{2} + \frac{aq}{2b}$

$y_Q = \frac{b}{a}x_Q = \frac{bp}{2a} + \frac{q}{2}$

よって、$Q = (\frac{p}{2} + \frac{aq}{2b}, \frac{bp}{2a} + \frac{q}{2})$

$R$ の座標を $(x_R, y_R)$ とすると、

$-\frac{b}{a}x_R = \frac{b}{a}x_R - \frac{b}{a}p + q$

$-\frac{2b}{a}x_R = -\frac{b}{a}p + q$

$x_R = \frac{p}{2} - \frac{aq}{2b}$

$y_R = -\frac{b}{a}x_R = -\frac{bp}{2a} + \frac{q}{2}$

よって、$R = (\frac{p}{2} - \frac{aq}{2b}, -\frac{bp}{2a} + \frac{q}{2})$

平行四辺形 $ORPQ$ の面積 $S$ は、ベクトル $\vec{OP} = (p, q)$ と $\vec{OR} = (\frac{p}{2} - \frac{aq}{2b}, -\frac{bp}{2a} + \frac{q}{2})$ で作られる平行四辺形の面積である。

$S = |p(-\frac{bp}{2a} + \frac{q}{2}) - q(\frac{p}{2} - \frac{aq}{2b})|$

$S = |-\frac{bp^2}{2a} + \frac{pq}{2} - \frac{pq}{2} + \frac{aq^2}{2b}|$

$S = |-\frac{bp^2}{2a} + \frac{aq^2}{2b}|$

$S = \frac{1}{2ab}|a^2q^2 - b^2p^2|$

点 $P(p, q)$ は双曲線上の点なので、$\frac{p^2}{a^2} - \frac{q^2}{b^2} = 1$ が成り立つ。したがって、$b^2p^2 - a^2q^2 = a^2b^2$

$S = \frac{1}{2ab}|-(b^2p^2 - a^2q^2)| = \frac{1}{2ab}|-a^2b^2| = \frac{a^2b^2}{2ab} = \frac{ab}{2}$

面積なので絶対値をつけても正である。

3. 最終的な答え

$\frac{ab}{2}$