与えられた式 $a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2)$ を因数分解または簡略化します。

1. 問題の内容

与えられた式 $a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2)$ を因数分解または簡略化します。

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2$

次に、式を整理して、因数分解しやすい形にします。

$ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2 = ab^2 - ba^2 + bc^2 - cb^2 + ca^2 - ac^2$

$= ab(b - a) + bc(c - b) + ca(a - c)$

ここで、全体の符号を反転させて、循環する形にすると、因数分解が見えやすくなります。

$-ab(a - b) - bc(b - c) - ca(c - a)$

この式をさらに変形します。

$-ab(a - b) - bc(b - c) - ca(c - a) = -ab(a - b) - bc(b - a + a - c) - ca(c - a)$

$= -ab(a - b) - bc(b - a) - bc(a - c) - ca(c - a)$

$= -ab(a - b) + bc(a - b) - bc(a - c) - ca(c - a)$

$= (a - b)(bc - ab) - c(a - c)b - ca(c - a)$

$= (a - b)(bc - ab) -c(a - c)b - ca(c - a)$

$= (a-b)(bc-ab) -bc(a-c) -ca(c-a)$

$= b(a-b)(c-a) -ca(c-a)$

$= (c-a)[b(a-b)-ca]$

$= (c-a)[ab - b^2-ca]$

$= (c-a)(b(a-b) -c(a))$

$= (a-b)(b(a-c))$

$= (a-b)(ab - b^2 - ca+cb)$

$= (a-b)[b(a-b)]-c(a-b)$

$= (a-b)(bc - ab) -(bc(a-c) + ca(c-a))$

$= - (a-b)(a-c)(b-c)$

$= -(a-b)(a-c)(b-c) = (a-b)(c-a)(b-c) = -(a-b)(a-c)(b-c) = (a-b)(b-c)(c-a)$

3. 最終的な答え

$(a-b)(b-c)(c-a)$