$t > 0$ とする。$xy$ 平面上に直線 $l_1: x = t$ と放物線 $C: y = 2x^2$ がある。$C$ と $l_1$ の共有点を $P$ とし、$P$ における $C$ の接線を $l_2$ とする。$l_2$ に関して $l_1$ と対称な直線を $l_3$ とし、$l_3$ と $C$ の共有点のうち $P$ と異なる点を $Q$ とする。以下の問いに答えよ。 (1) 接線 $l_2$ の方程式を求めよ。 (2) 直線 $l_3$ の方程式を求めよ。 (3) 線分 $PQ$ の長さを $t$ を用いて表せ。 (4) $t$ が $t > 0$ の範囲を動くとき、線分 $PQ$ の長さの最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$t > 0$ とする。$xy$ 平面上に直線 $l_1: x = t$ と放物線 $C: y = 2x^2$ がある。$C$ と $l_1$ の共有点を $P$ とし、$P$ における $C$ の接線を $l_2$ とする。$l_2$ に関して $l_1$ と対称な直線を $l_3$ とし、$l_3$ と $C$ の共有点のうち $P$ と異なる点を $Q$ とする。以下の問いに答えよ。

(1) 接線 $l_2$ の方程式を求めよ。

(2) 直線 $l_3$ の方程式を求めよ。

(3) 線分 $PQ$ の長さを $t$ を用いて表せ。

(4) $t$ が $t > 0$ の範囲を動くとき、線分 $PQ$ の長さの最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点 $P$ の座標は、直線 $l_1: x = t$ と放物線 $C: y = 2x^2$ の交点なので、$P(t, 2t^2)$ である。

放物線 $C: y = 2x^2$ を微分すると、$y' = 4x$ である。

点 $P$ における接線 $l_2$ の傾きは $4t$ なので、$l_2$ の方程式は、

$y - 2t^2 = 4t(x - t)$

$y = 4tx - 4t^2 + 2t^2$

$y = 4tx - 2t^2$

(2) 直線 $l_1: x = t$ に関して $l_2: y = 4tx - 2t^2$ と対称な直線 $l_3$ を求める。

$l_2$ 上の任意の点 $(x, y)$ をとる。直線 $l_1$ に関して $(x, y)$ と対称な点を $(x', y')$ とすると、

$x' = 2t - x$

$y' = y$

$x = 2t - x'$

これを $l_2$ の式に代入すると、

$y' = 4t(2t - x') - 2t^2$

$y' = 8t^2 - 4tx' - 2t^2$

$y' = -4tx' + 6t^2$

したがって、直線 $l_3$ の方程式は $y = -4tx + 6t^2$ である。

(3) 点 $Q$ は直線 $l_3: y = -4tx + 6t^2$ と放物線 $C: y = 2x^2$ の交点である。

$2x^2 = -4tx + 6t^2$

$x^2 + 2tx - 3t^2 = 0$

$(x + 3t)(x - t) = 0$

$x = t, -3t$

点 $Q$ は点 $P$ と異なるので、$x = -3t$ である。

したがって、$Q(-3t, 2(-3t)^2) = Q(-3t, 18t^2)$ である。

$PQ = \sqrt{(-3t - t)^2 + (18t^2 - 2t^2)^2} = \sqrt{(-4t)^2 + (16t^2)^2} = \sqrt{16t^2 + 256t^4} = \sqrt{16t^2(1 + 16t^2)} = 4t\sqrt{1 + 16t^2}$

(4) $PQ = 4t\sqrt{1 + 16t^2}$ の最小値を求める。

$f(t) = 4t\sqrt{1 + 16t^2}$ とおく。

$f'(t) = 4\sqrt{1 + 16t^2} + 4t \frac{1}{2\sqrt{1 + 16t^2}}(32t) = 4\sqrt{1 + 16t^2} + \frac{64t^2}{\sqrt{1 + 16t^2}}$

$= \frac{4(1 + 16t^2) + 64t^2}{\sqrt{1 + 16t^2}} = \frac{4 + 64t^2 + 64t^2}{\sqrt{1 + 16t^2}} = \frac{4 + 128t^2}{\sqrt{1 + 16t^2}}$

$f'(t) > 0$ なので、$f(t)$ は単調増加である。したがって、$t > 0$ の範囲では最小値は存在しない。

$PQ^2 = 16t^2(1+16t^2)=16t^2+256t^4$

$u = t^2$ とすると、$PQ^2 = 16u+256u^2$

$\frac{d(PQ^2)}{du} = 16+512u=0$

$u = -\frac{16}{512} = -\frac{1}{32}$

これは、$t>0$ の範囲ではない。

ここで、$g(t) = PQ = 4t\sqrt{1 + 16t^2}$ とする。相加相乗平均の関係を使うことを考える。

$PQ = \sqrt{16t^2 + 256t^4} = \sqrt{16t^2(1 + 16t^2)}$

微分して増減表を書いてみる。

$g'(t) = \frac{4+128t^2}{\sqrt{1+16t^2}}$

常に正の値なので、$t > 0$ においては最小値は存在しない。

$PQ = 4t \sqrt{1+16t^2}$.

$u = 16t^2$ とすると、 $t = \sqrt{u}/4$.

$PQ = 4 (\sqrt{u}/4) \sqrt{1+u} = \sqrt{u(1+u)} = \sqrt{u^2+u}$

$f(u) = u^2+u$ を最小化する。 $f'(u) = 2u+1 = 0$, $u = -1/2$.

これは $t^2 > 0$ なので矛盾。

$t$ が限りなく $0$ に近づくと、$PQ$ も限りなく $0$ に近づく。したがって、最小値は存在しない。しかし、問題には最小値を求めよ、と書いてある。

$f(t) = 16t^2 + 256t^4$

$f'(t) = 32t + 1024t^3 = 32t(1 + 32t^2) = 0$

$t = 0$ は $t > 0$ に反するので不適。したがって、最小値は存在しない。

ただし、相加相乗平均を使えば、

$16t^2 + 1 \ge 2\sqrt{16t^2} = 8t$.

よって、$16t^2 + 256t^4 \ge 2\sqrt{256t^6} = 32t^3$.

$4t\sqrt{1 + 16t^2}$

$PQ^2 = 16t^2 + 256t^4 = (16t^2 + 1) - 1 + 256t^4$

3. 最終的な答え

(1) $y = 4tx - 2t^2$

(2) $y = -4tx + 6t^2$

(3) $PQ = 4t\sqrt{1 + 16t^2}$

(4) 最小値は存在しない。