三角形ABCにおいて、点Q、Rがそれぞれ辺AB、BCを$AQ:QB = 3:2$、 $BR:RC = 4:5$の比に内分するとき、CO:OQを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Q、Rがそれぞれ辺AB、BCを$AQ:QB = 3:2$、 $BR:RC = 4:5$の比に内分するとき、CO:OQを求めよ。

2. 解き方の手順

チェバの定理より、

$\frac{AQ}{QB} \cdot \frac{BR}{RC} \cdot \frac{CP}{PA} = 1$

ここに$AQ:QB = 3:2$, $BR:RC = 4:5$を代入すると、

$\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{CP}{PA} = 1$

$\frac{CP}{PA} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$

したがって、$AP:PC=6:5$

次に、メネラウスの定理を三角形ABRと直線QCに適用する。

$\frac{AQ}{QB} \cdot \frac{BC}{CR} \cdot \frac{RO}{OA} = 1$

ここに$AQ:QB = 3:2$, $BC:CR = (5+4):5=9:5$を代入すると、

$\frac{3}{2} \cdot \frac{9}{5} \cdot \frac{RO}{OA} = 1$

$\frac{RO}{OA} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 9} = \frac{10}{27}$

したがって、$AR:RO = (27+10):10=37:10$

次に、メネラウスの定理を三角形BCPと直線ARに適用する。

$\frac{BR}{RC} \cdot \frac{CA}{AP} \cdot \frac{PO}{OB} = 1$

ここに$BR:RC=4:5$, $CA:AP=(6+5):6=11:6$を代入すると、

$\frac{4}{5} \cdot \frac{11}{6} \cdot \frac{PO}{OB} = 1$

$\frac{PO}{OB} = \frac{5 \cdot 6}{4 \cdot 11} = \frac{30}{44} = \frac{15}{22}$

したがって、$BP:PO = (15+22):15=37:15$

次に、メネラウスの定理を三角形ACQと直線BRに適用する。

$\frac{CB}{BR} \cdot \frac{RO}{OA} \cdot \frac{AQ}{QC} = 1$

次に、メネラウスの定理を三角形BCQと直線ARに適用する。

$\frac{BR}{RC} \cdot \frac{CO}{OQ} \cdot \frac{QA}{AB} = 1$

ここに$BR:RC=4:5$, $QA:AB=3:(3+2)=3:5$を代入すると、

$\frac{4}{5} \cdot \frac{CO}{OQ} \cdot \frac{3}{5} = 1$

$\frac{CO}{OQ} = \frac{5 \cdot 5}{4 \cdot 3} = \frac{25}{12}$

3. 最終的な答え

CO:OQ = 25:12