$|\vec{a}|=3$, $|\vec{b}|=2$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = -3$ のとき、以下の値を求めよ。 (1) $|\vec{a} + \vec{b}|$ (2) $|\vec{a} - 2\vec{b}|$

1. 問題の内容

$|\vec{a}|=3$, $|\vec{b}|=2$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = -3$ のとき、以下の値を求めよ。

(1) $|\vec{a} + \vec{b}|$

(2) $|\vec{a} - 2\vec{b}|$

2. 解き方の手順

(1) $|\vec{a} + \vec{b}|$ を求める。

まず、$|\vec{a} + \vec{b}|^2$ を計算する。

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b})$

$= \vec{a} \cdot \vec{a} + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b}$

$= |\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$

与えられた値を代入する。

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 3^2 + 2(-3) + 2^2 = 9 - 6 + 4 = 7$

したがって、$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{7}$

(2) $|\vec{a} - 2\vec{b}|$ を求める。

まず、$|\vec{a} - 2\vec{b}|^2$ を計算する。

$|\vec{a} - 2\vec{b}|^2 = (\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2\vec{b})$

$= \vec{a} \cdot \vec{a} - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4(\vec{b} \cdot \vec{b})$

$= |\vec{a}|^2 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4|\vec{b}|^2$

与えられた値を代入する。

$|\vec{a} - 2\vec{b}|^2 = 3^2 - 4(-3) + 4(2^2) = 9 + 12 + 16 = 37$

したがって、$|\vec{a} - 2\vec{b}| = \sqrt{37}$

3. 最終的な答え

(1) $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{7}$

(2) $|\vec{a} - 2\vec{b}| = \sqrt{37}$