一辺の長さが $\sqrt{7}$ の正三角形 $ABC$ があり、$ABC$ の外接円の点 $B$ を含まない弧 $CA$ 上に $CD=1$ となる点 $D$ をとる。線分 $AC$ と $BD$ の交点を $E$ とする。 $\angle ADC$, $AD$, $\triangle ACD$ の面積, $\triangle ACD$ の内接円の半径, $AE:EC$, $\triangle CDE$ の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

一辺の長さが $\sqrt{7}$ の正三角形 $ABC$ があり、$ABC$ の外接円の点 $B$ を含まない弧 $CA$ 上に $CD=1$ となる点 $D$ をとる。線分 $AC$ と $BD$ の交点を $E$ とする。

$\angle ADC$, $AD$, $\triangle ACD$ の面積, $\triangle ACD$ の内接円の半径, $AE:EC$, $\triangle CDE$ の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、円に内接する四角形の性質より、$\angle ADC = 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ です。

次に、$\triangle ACD$ において、余弦定理を用いると、

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos{120^{\circ}}$

$(\sqrt{7})^2 = AD^2 + 1^2 - 2 \cdot AD \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2})$

$7 = AD^2 + 1 + AD$

$AD^2 + AD - 6 = 0$

$(AD - 2)(AD + 3) = 0$

$AD > 0$ より、$AD = 2$ です。

$\triangle ACD$ の面積は、$\frac{1}{2} \cdot AD \cdot CD \cdot \sin{120^{\circ}} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$\triangle ACD$ の内接円の半径を $r$ とすると、$\triangle ACD$ の面積は $\frac{1}{2} (AC + CD + AD) r$ でもあるので、

$\frac{1}{2} (\sqrt{7} + 1 + 2)r = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$(\sqrt{7} + 3)r = \sqrt{3}$

$r = \frac{\sqrt{3}}{3 + \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{3}(3 - \sqrt{7})}{(3+\sqrt{7})(3-\sqrt{7})} = \frac{\sqrt{3}(3-\sqrt{7})}{9 - 7} = \frac{3\sqrt{3} - \sqrt{21}}{2}$ です。

$\angle ADB = \angle ACB = 60^{\circ}$ であり、$\angle BDC = \angle BAC = 60^{\circ}$ であるから、線分 $BD$ は $\angle ADC$ の二等分線である。よって、$AE:EC = AD:CD = 2:1$ となります。

したがって、$\triangle CDE = \frac{EC}{AC} \triangle ACD = \frac{1}{2+1} \triangle ACD = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{6}$ です。

3. 最終的な答え

$\angle ADC = 120^{\circ}$

$AD = 2$

$\triangle ACD$ の面積 $= \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\triangle ACD$ の内接円の半径 $= \frac{3\sqrt{3} - \sqrt{21}}{2}$

$AE:EC = 2:1$

$\triangle CDE$ の面積 $= \frac{\sqrt{3}}{6}$