三角形ABCにおいて、点Qは辺BCを3:1に内分し、点Rは辺ACを1:2に内分する。線分AQとBRの交点をOとするとき、AO:OQを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Qは辺BCを3:1に内分し、点Rは辺ACを1:2に内分する。線分AQとBRの交点をOとするとき、AO:OQを求めよ。

2. 解き方の手順

チェバの定理とメネラウスの定理を利用して解きます。

まず、チェバの定理より、

$\frac{AR}{RC} \cdot \frac{CQ}{QB} \cdot \frac{BP}{PA} = 1$

が成り立ちます。ここで、Pは線分AOを延長した直線と辺BCの交点とします。

問題文より、$AR:RC = 1:2$ および $CQ:QB = 1:3$なので、

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{BP}{PA} = 1$

$\frac{BP}{PA} = 6$

すなわち $BP = 6PA$

次に、メネラウスの定理より（直線BRと三角形AQCについて）、

$\frac{AR}{RC} \cdot \frac{CB}{BQ} \cdot \frac{QO}{OA} = 1$

$AR:RC = 1:2$ および $CB:BQ = (3+1):1 = 4:1$なので、

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{1} \cdot \frac{QO}{OA} = 1$

$\frac{2QO}{OA} = 1$

$OA = 2QO$

したがって、$AO:OQ = 2:1$

3. 最終的な答え

2:1