外接円の半径が3である$\triangle ABC$を考える。点Aから直線BCに引いた垂線と直線BCとの交点をDとする。 (1) $AB = 5$, $AC = 4$のとき、$\sin \angle ABC$と$AD$の値を求める。 (2) 2辺$AB$, $AC$の長さの間に$2AB + AC = 14$の関係があるとき、$AB$の長さのとり得る値の範囲を求め、そのときの$AD$を$AD = \frac{ニヌ}{ネ} AB^2 + \frac{ノ}{ハ} AB$と表し、$AD$の長さの最大値を求める。

1. 問題の内容

外接円の半径が3である$\triangle ABC$を考える。点Aから直線BCに引いた垂線と直線BCとの交点をDとする。

(1) $AB = 5$, $AC = 4$のとき、$\sin \angle ABC$と$AD$の値を求める。

(2) 2辺$AB$, $AC$の長さの間に$2AB + AC = 14$の関係があるとき、$AB$の長さのとり得る値の範囲を求め、そのときの$AD$を$AD = \frac{ニヌ}{ネ} AB^2 + \frac{ノ}{ハ} AB$と表し、$AD$の長さの最大値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

正弦定理より、$\frac{AC}{\sin \angle ABC} = 2R$ が成り立つ。ここで、$R=3$, $AC=4$なので、

$\frac{4}{\sin \angle ABC} = 2 \times 3 = 6$

$\sin \angle ABC = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

$\angle ADB = 90^\circ$なので、$\triangle ABD$において、$\sin \angle ABC = \frac{AD}{AB}$ が成り立つ。

$AD = AB \sin \angle ABC = 5 \times \frac{2}{3} = \frac{10}{3}$

(2)

$2AB + AC = 14$より、$AC = 14 - 2AB$。三角形の成立条件より、

$AB + AC > BC$, $AC + BC > AB$, $AB + BC > AC$

$AB + AC > BC$は、$AB > 0$, $AC > 0$より、常に成り立つ。

$AB + BC > AC$

$AC + BC > AB$

$AC = 14 - 2AB$より、$14 - 2AB > 0$より、$2AB < 14$, $AB < 7$

$AB + AC > BC$より、$AB + 14 - 2AB > BC$, $14 - AB > BC$

$AC + BC > AB$より、$14 - 2AB + BC > AB$, $14 - 3AB + BC > 0$, $BC > 3AB - 14$

また、$AB > 0$, $AC > 0$より、$14 - 2AB > 0$となり、$AB < 7$

$AB + BC > AC$より、$AB + BC > 14 - 2AB$となり、$BC > 14 - 3AB$

$AC + BC > AB$より、$14 - 2AB + BC > AB$となり、$BC > 3AB - 14$

$AB + AC > BC$より、$AB + 14 - 2AB > BC$となり、$BC < 14 - AB$

$AB+AC>BC$より、$AB+14-2AB>BC$すなわち$14-AB>BC>0$である。よって、$AB<14$

$AC+BC>AB$より、$14-2AB+BC>AB$すなわち$BC>3AB-14>0$である。よって、$AB>14/3$

$AB+BC>AC$より、$AB+BC>14-2AB$すなわち$BC>14-3AB>0$である。よって、$AB<14/3$

$AB$, $AC$は正であるから、$AB>0$, $14-2AB>0$。よって$AB<7$

したがって、$14/3 < AB < 7$

ここで$2AB + AC = 14$より、$AC = 14 - 2AB$

$\triangle ABC$の面積を$S$とすると、$S = \frac{1}{2} AB \cdot AC \sin A = \frac{1}{2} AB \cdot BC \sin B = \frac{1}{2} AC \cdot BC \sin C$

また、$S = \frac{ABC}{4R} = \frac{AB \cdot (14 - 2AB) \cdot BC}{4 \cdot 3}$

ここで、$BC = BD + CD$

$\angle ABC = \angle ACB$のとき、$AB=AC=14-2AB$より、$3AB = 14$、$AB = \frac{14}{3}$

このとき、$AD = AB \sin B = \frac{14}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{28}{9}$

$AC = 14 - 2AB$より、$AB = \frac{14-AC}{2}$。

$AB$の範囲は、$\frac{14}{3} \le AB < 7$

$AD = \frac{-2}{9} AB^2 + \frac{14}{9} AB$

$AD = \frac{-2}{9} (AB^2 - 7AB) = \frac{-2}{9} ( (AB - \frac{7}{2})^2 - \frac{49}{4} )$

$AD = \frac{-2}{9} (AB - \frac{7}{2})^2 + \frac{49}{18}$

$AD$が最大となるのは、$AB = \frac{7}{2}$のときで、$AD = \frac{49}{18}$

3. 最終的な答え

$\sin \angle ABC = \frac{2}{3}$

$AD = \frac{10}{3}$

$\frac{14}{3} \le AB < 7$

$AD = \frac{-2}{9} AB^2 + \frac{14}{9} AB$

$AD$の最大値は、$\frac{49}{18}$