袋の中に赤玉が4個、白玉が2個入っている。袋から玉を1個取り出し、色を確認してから袋に戻す。この試行を4回繰り返すとき、赤玉がちょうど2回出る確率を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉が4個、白玉が2個入っている。袋から玉を1個取り出し、色を確認してから袋に戻す。この試行を4回繰り返すとき、赤玉がちょうど2回出る確率を求めよ。

2. 解き方の手順

この問題は反復試行の確率の問題として解くことができます。

* 1回の試行で赤玉が出る確率を求める。

* 4回の試行で赤玉が2回出る確率を二項分布の考え方を用いて計算する。

まず、1回の試行で赤玉が出る確率は、袋の中の玉の総数が $4 + 2 = 6$ 個であり、赤玉が4個であることから、

$P(\text{赤玉}) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

したがって、1回の試行で白玉が出る確率は、

$P(\text{白玉}) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

4回の試行のうち、赤玉が2回出る確率は、二項分布を用いて計算できます。二項係数は $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ で与えられます。ここで、$n=4$ (試行回数)、$k=2$ (赤玉が出る回数) です。

$\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{24}{4} = 6$

したがって、赤玉が2回出る確率は、

$P(\text{赤玉が2回}) = \binom{4}{2} \times (\frac{2}{3})^2 \times (\frac{1}{3})^{4-2} = 6 \times (\frac{2}{3})^2 \times (\frac{1}{3})^2$

$P(\text{赤玉が2回}) = 6 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{9} = 6 \times \frac{4}{81} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}$

3. 最終的な答え

$\frac{8}{27}$