(1) 1から8までの数字が書かれた8個の球が入った袋から3個の球を順番に取り出し、取り出した順に百、十、一の位として3桁の整数を作る。作られる整数の個数と、それらの整数を小さい順に並べたときに20番目にくる整数を求める。 (2) 正八角形の頂点に1から8の番号を付け、袋から同時に3個の球を取り出し、その数に対応する頂点を結んで三角形を作る。このとき、直角三角形となる確率と鈍角三角形となる確率を求める。

1. 問題の内容

(1) 1から8までの数字が書かれた8個の球が入った袋から3個の球を順番に取り出し、取り出した順に百、十、一の位として3桁の整数を作る。作られる整数の個数と、それらの整数を小さい順に並べたときに20番目にくる整数を求める。

(2) 正八角形の頂点に1から8の番号を付け、袋から同時に3個の球を取り出し、その数に対応する頂点を結んで三角形を作る。このとき、直角三角形となる確率と鈍角三角形となる確率を求める。

2. 解き方の手順

(1)

* 3桁の整数を作る個数：百の位、十の位、一の位の順に球を取り出すので、百の位は8通り、十の位は残りの7通り、一の位は残りの6通り。よって、作られる整数の個数は、$8 \times 7 \times 6 = 336$ 通り。

* 小さい順に20番目の整数：

* 100番台：123, 124, 125, 126, 127, 128 (6個)

* 130番台：132, 134, 135, 136, 137, 138 (6個)

* 140番台：142, 143, 145, 146, 147, 148 (6個)

* ここまでで6+6+6 = 18個。

* 150番台：152, 153 (2個)

* よって20番目は153。

(2)

* 3個の球の選び方：8個から3個を選ぶ組み合わせなので、${}_8C_3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$通り。

* 直角三角形になる場合：正八角形の直径を斜辺とする三角形が直角三角形になる。直径となる組み合わせは4通り（1-5, 2-6, 3-7, 4-8）。それぞれに対して、残りの頂点の選び方は6通り。よって、直角三角形となるのは$4 \times 6 = 24$通り。

* 直角三角形になる確率：$\frac{24}{56} = \frac{3}{7}$。

* 鈍角三角形になる場合：

* 正三角形になることはない。

* 直角三角形は24通り。

* 鋭角三角形になる場合を考える。３つの頂点の番号の差が全て4未満の場合、鋭角三角形になる。

例：(1,2,3),(1,2,4),(1,3,4),(1,2,5)など.具体的に数えるか、全体から直角三角形と鈍角三角形を引けば求められます。

しかし、ここでは鈍角三角形を先に計算するほうが簡単です。

* 鈍角三角形は、8個の頂点のうち3個を選んでできる三角形全体から、直角三角形と鋭角三角形を除いたものです。全体の三角形の数は ${}_8C_3 = 56$。直角三角形は24通りなので、鈍角三角形＋鋭角三角形は32通り。

* 鋭角三角形は頂点間の距離が全て4未満の場合なので、(1,2,3), (2,3,4), (3,4,5), (4,5,6), (5,6,7), (6,7,8), (7,8,1), (8,1,2)という8パターン.そして(1,2,4), (2,3,5)のように一つ飛ばしで作れるパターンも8パターン存在する.よって鋭角三角形は8+8=16通り

* したがって、鈍角三角形は56 - 24 - 16 = 16通り。

* 鈍角三角形になる確率：$\frac{16}{56} = \frac{2}{7}$

3. 最終的な答え

19: ウ (336)

20: イ (153)

21: エ (3/7)

22: ウ (2/7)