あるテストの平均点が55点、分散が196である。あなたの点数が69点であったとき、テストの点数が正規分布に従うと仮定して、以下の2つの問いに答える問題。 問題19：あなたはおよそ上位何%か？ 問題20：最低何点以上であれば上位10%に入るか？

1. 問題の内容

あるテストの平均点が55点、分散が196である。あなたの点数が69点であったとき、テストの点数が正規分布に従うと仮定して、以下の2つの問いに答える問題。

問題19：あなたはおよそ上位何%か？

問題20：最低何点以上であれば上位10%に入るか？

2. 解き方の手順

問題19：

(1) 標準偏差を計算する。

分散が196なので、標準偏差 $\sigma$ は $\sigma = \sqrt{196} = 14$

(2) Z値を計算する。

Z値は、あなたの点数と平均点の差を標準偏差で割ったものです。

$Z = \frac{69 - 55}{14} = \frac{14}{14} = 1$

(3) 標準正規分布表またはZテーブルを使って、Z値が1に対応する累積確率を求める。Z=1 のとき、累積確率は約0.8413。これは、あなたの点数以下の人が全体の約84.13%いることを意味します。

(4) 上位何％かを計算する。

上位の割合は、$1 - 0.8413 = 0.1587$

パーセントで表すと、約15.87%。選択肢の中で最も近いのは16%。

問題20：

(1) 上位10%に対応するZ値を求める。

上位10%ということは、下位90%にあたるZ値を標準正規分布表から探します。累積確率が0.90に近いZ値は約1.28。

(2) 対応する点数を計算する。

点数 $X$ を求める公式は、

$X = \mu + Z\sigma$

ここで、$\mu$ は平均値（55点）、$\sigma$ は標準偏差（14）、$Z$ は1.28。

$X = 55 + (1.28 \times 14) = 55 + 17.92 = 72.92$

選択肢の中で最も近いのは73点。

3. 最終的な答え

問題19：3 (16)

問題20：4 (73)