A君とB君がじゃんけんを6回行うとき、A君が4回勝つ確率を求めよ。ただし、引き分けは回数に含む。

1. 問題の内容

A君とB君がじゃんけんを6回行うとき、A君が4回勝つ確率を求めよ。ただし、引き分けは回数に含む。

2. 解き方の手順

じゃんけん1回におけるA君が勝つ確率を$p$、負ける確率を$q$、引き分ける確率を$r$とする。

このとき、$p = q = r = \frac{1}{3}$である。

6回のじゃんけんでA君が4回勝つ確率は、二項分布を用いて計算できる。

ただし、引き分けを考慮する必要がある。

まず、6回のうち4回A君が勝ち、残り2回がA君の負けか引き分けの場合を考える。

この2回は、A君が負ける場合と引き分ける場合があるので、それぞれの確率を計算する。

A君が4回勝ち、残り2回がA君の負けである確率は、

$${}_6 \mathrm{C}_4 \left( \frac{1}{3} \right)^4 \left( \frac{1}{3} \right)^2 = 15 \left( \frac{1}{3} \right)^6 = \frac{15}{729}$$

A君が4回勝ち、残り1回が負け、1回が引き分けである確率は、

$${}_6 \mathrm{C}_4 \times {}_2 \mathrm{C}_1 \left( \frac{1}{3} \right)^4 \left( \frac{1}{3} \right)^1 \left( \frac{1}{3} \right)^1 = 15 \times 2 \left( \frac{1}{3} \right)^6 = \frac{30}{729}$$

A君が4回勝ち、残り2回が引き分けである確率は、

$${}_6 \mathrm{C}_4 \left( \frac{1}{3} \right)^4 \left( \frac{1}{3} \right)^2 = 15 \left( \frac{1}{3} \right)^6 = \frac{15}{729}$$

したがって、A君が4回勝つ確率は、

$$\frac{15}{729} + \frac{30}{729} + \frac{15}{729} = \frac{60}{729} = \frac{20}{243}$$

3. 最終的な答え

$\frac{20}{243}$