数直線上を動く点Pが原点にあり、硬貨を投げる。表が出るとPは正の方向に2進み、裏が出るとPは負の方向に3進む。硬貨を5回投げたとき、Pが原点に戻る確率を求めよ。

1. 問題の内容

数直線上を動く点Pが原点にあり、硬貨を投げる。表が出るとPは正の方向に2進み、裏が出るとPは負の方向に3進む。硬貨を5回投げたとき、Pが原点に戻る確率を求めよ。

2. 解き方の手順

硬貨を5回投げて原点に戻るためには、表が出た回数と裏が出た回数の組み合わせを考える必要があります。表が出た回数を $x$ 、裏が出た回数を $y$ とすると、以下の2つの条件を満たす必要があります。

* $x + y = 5$ (5回硬貨を投げる)

* $2x - 3y = 0$ (原点に戻る)

連立方程式を解きます。

$x + y = 5$ より $x = 5 - y$

これを $2x - 3y = 0$ に代入すると、

$2(5 - y) - 3y = 0$

$10 - 2y - 3y = 0$

$10 - 5y = 0$

$5y = 10$

$y = 2$

$y = 2$ を $x + y = 5$ に代入すると、

$x + 2 = 5$

$x = 3$

したがって、表が3回、裏が2回出ると原点に戻ります。

5回中、表が3回、裏が2回出る確率は、二項定理を用いて計算できます。

$P(表3回, 裏2回) = {}_5C_3 \times (\frac{1}{2})^3 \times (\frac{1}{2})^2 = {}_5C_3 \times (\frac{1}{2})^5$

${}_5C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

$P(表3回, 裏2回) = 10 \times (\frac{1}{2})^5 = 10 \times \frac{1}{32} = \frac{10}{32} = \frac{5}{16}$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{16}$