AさんとB君がn個の質問に答え、「はい」を1、「いいえ」を0で表したデータ $(x_1, y_1), ..., (x_n, y_n)$ が与えられた。ここで、$x_i$ はAさんがi番目の質問に答えた値、$y_i$ はB君がi番目の質問に答えた値を表す。相関係数が1であったとき、正しいものを全て選ぶ問題である。

1. 問題の内容

AさんとB君がn個の質問に答え、「はい」を1、「いいえ」を0で表したデータ $(x_1, y_1), ..., (x_n, y_n)$ が与えられた。ここで、$x_i$ はAさんがi番目の質問に答えた値、$y_i$ はB君がi番目の質問に答えた値を表す。相関係数が1であったとき、正しいものを全て選ぶ問題である。

2. 解き方の手順

相関係数$r$は次のように定義される：

$r = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2}}$

ここで$\bar{x}$と$\bar{y}$はそれぞれ$x_i$と$y_i$の平均値である。

相関係数が1であるとき、$y_i$ は $x_i$ の線形関数で表され、$y_i = ax_i + b$ ($a > 0$) の形となる。ここで、$x_i$ と $y_i$ は0か1の値しか取らない。

* $y_i = ax_i + b$で$x_i$が0または1の値しかとらない時、$a>0$かつ、$x_i$と$y_i$も0または1の値しかとらないことから、以下の組み合わせが考えられる。

* Aさんが「いいえ」(0)と答えたとき、B君も「いいえ」(0)と答える。

* Aさんが「はい」(1)と答えたとき、B君も「はい」(1)と答える。

この2つを満たす場合、相関係数は1となる。

他の選択肢を考えると、

* Aさんが「いいえ」(0)と答えたとき、B君が「はい」(1)と答える場合、相関係数は負になる可能性がある。

* Aさんが「はい」(1)と答えたとき、B君が「いいえ」(0)と答える場合、相関係数は負になる可能性がある。

3. 最終的な答え

- Aさんが「いいえ」と答えた質問のすべてにB君も「いいえ」と答えた

- Aさんが「はい」と答えた質問のすべてにB君も「はい」と答えた