6人の学生を2人、2人、2人の3つのグループに分ける方法は何通りあるか求めます。

## 問題1

1. 問題の内容

6人の学生を2人、2人、2人の3つのグループに分ける方法は何通りあるか求めます。

2. 解き方の手順

まず、6人から2人を選ぶ組み合わせを計算します。これは $_6C_2$ で表されます。

次に、残りの4人から2人を選ぶ組み合わせを計算します。これは $_4C_2$ で表されます。

最後に、残りの2人は自動的に最後のグループになるので、組み合わせは1通りです。

したがって、組み合わせの総数は $_6C_2 \times _4C_2 \times _2C_2$ となります。

ただし、同じ人数のグループであるため、グループの順番は区別しません。つまり、3つのグループの並び順（3!）で割る必要があります。

$_6C_2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

$_4C_2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

$_2C_2 = \frac{2!}{2!(2-2)!} = \frac{2!}{2!0!} = 1$

組み合わせの総数は $15 \times 6 \times 1 = 90$ となります。

3つのグループの並び順は $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ 通りなので、グループの順番を区別しないようにするために、90を6で割ります。

$\frac{90}{6} = 15$

3. 最終的な答え

15通り

## 問題2

1. 問題の内容

6人の学生から、運動会の綱引き、リレー、100m走にそれぞれ2人ずつ選手を選ぶとき、選び方は何通りあるか求めます。ただし、1人の学生は1つの競技にしか参加できません。

2. 解き方の手順

まず、綱引きの2人を選ぶ組み合わせを計算します。これは $_6C_2$ で表されます。

次に、残りの4人からリレーの2人を選ぶ組み合わせを計算します。これは $_4C_2$ で表されます。

最後に、残りの2人から100m走の2人を選ぶ組み合わせを計算します。これは $_2C_2$ で表されます。

したがって、組み合わせの総数は $_6C_2 \times _4C_2 \times _2C_2$ となります。

$_6C_2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

$_4C_2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

$_2C_2 = \frac{2!}{2!(2-2)!} = \frac{2!}{2!0!} = 1$

組み合わせの総数は $15 \times 6 \times 1 = 90$ となります。

3. 最終的な答え

90通り

## 問題3

1. 問題の内容

6本の同じ鉛筆をA, B, Cの3人に残らず配る方法は何通りあるか求めます。ただし、鉛筆を1本ももらえない人がいても良いとします。

2. 解き方の手順

この問題は、重複組み合わせの問題として考えることができます。6本の鉛筆を3人に配るということは、6個の○と2個の仕切り｜を並べる順列の数と同じです。

例えば、○○｜○○｜○○ は、Aに2本、Bに2本、Cに2本配ることを意味します。

同様に、｜○○○○○○｜ は、Aに0本、Bに6本、Cに0本配ることを意味します。

したがって、合計8個のものを並べる順列を考えればよいので、

$_nH_r = _{n+r-1}C_r$

$n = 3, r = 6$ より、

$_{3+6-1}C_6 = _8C_6$

$_8C_6 = \frac{8!}{6!(8-6)!} = \frac{8!}{6!2!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$

3. 最終的な答え

28通り