100人の生徒が2つの試験A, Bを受験しました。Aの合格者は65人、Bの合格者は72人です。両方とも不合格の生徒は10人でした。 (1) 少なくとも一方に合格した生徒の人数を求めます。 (2) 両方とも合格した生徒の人数を求めます。 (3) Aだけに合格した生徒の人数を求めます。

1. 問題の内容

100人の生徒が2つの試験A, Bを受験しました。Aの合格者は65人、Bの合格者は72人です。両方とも不合格の生徒は10人でした。

(1) 少なくとも一方に合格した生徒の人数を求めます。

(2) 両方とも合格した生徒の人数を求めます。

(3) Aだけに合格した生徒の人数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 少なくとも一方に合格した生徒の人数

全体から両方とも不合格だった生徒の人数を引けば良い。

$100 - 10 = 90$

(2) 両方とも合格した生徒の人数

Aに合格した生徒の数を$n(A)$、Bに合格した生徒の数を$n(B)$、少なくとも一方に合格した生徒の数を$n(A \cup B)$、両方とも合格した生徒の数を$n(A \cap B)$とすると、次の式が成り立ちます。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

これより、$n(A \cap B)$は以下のように計算できます。

$n(A \cap B) = n(A) + n(B) - n(A \cup B)$

問題文より、$n(A) = 65$, $n(B) = 72$であり、(1)より$n(A \cup B) = 90$なので、

$n(A \cap B) = 65 + 72 - 90 = 137 - 90 = 47$

(3) Aだけに合格した生徒の人数

Aに合格した生徒の数から、AとBの両方に合格した生徒の数を引けば良い。

$n(A) - n(A \cap B) = 65 - 47 = 18$

3. 最終的な答え

(1) 少なくとも一方に合格した生徒：90人

(2) 両方とも合格した生徒：47人

(3) Aだけに合格した生徒：18人