母集団が正規分布に従い、母平均 $m$ 、母標準偏差 $1.5$ であるとする。 (1) $m=10$ のとき、大きさ $100$ の無作為標本を抽出したとき、標本平均が $10$ 以上 $10.3$ 以下である確率を求める。 (2) 標本平均が $10.3$ 、標本の大きさが $36$ のとき、母平均 $m$ に対する信頼度 $95\%$ の信頼区間を求める。

1. 問題の内容

母集団が正規分布に従い、母平均 $m$ 、母標準偏差 $1.5$ であるとする。

(1) $m=10$ のとき、大きさ $100$ の無作為標本を抽出したとき、標本平均が $10$ 以上 $10.3$ 以下である確率を求める。

(2) 標本平均が $10.3$ 、標本の大きさが $36$ のとき、母平均 $m$ に対する信頼度 $95\%$ の信頼区間を求める。

2. 解き方の手順

(1) 標本平均 $\bar{X}$ は、 $m=10$, $n=100$, $\sigma=1.5$ のとき、近似的に正規分布 $N(m, \frac{\sigma^2}{n})$ 、つまり $N(10, \frac{1.5^2}{100})$ 、すなわち $N(10, 0.0225)$ に従う。

$\bar{X}$ を標準化すると $Z = \frac{\bar{X} - m}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}} = \frac{\bar{X} - 10}{\sqrt{0.0225}} = \frac{\bar{X} - 10}{0.15}$ は標準正規分布 $N(0,1)$ に従う。

求める確率は $P(10 \le \bar{X} \le 10.3) = P(\frac{10-10}{0.15} \le Z \le \frac{10.3-10}{0.15}) = P(0 \le Z \le \frac{0.3}{0.15}) = P(0 \le Z \le 2)$ である。

標準正規分布表より $P(0 \le Z \le 2) = 0.4772$ である。

(2) 信頼度 $95\%$ の信頼区間は、標本平均 $\bar{X} = 10.3$, 標本の大きさ $n=36$, 母標準偏差 $\sigma=1.5$ のとき、

$\bar{X} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le m \le \bar{X} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

で与えられる。ここで、信頼度 $95\%$ より $\alpha = 0.05$, $\alpha/2 = 0.025$ であり、標準正規分布表より $z_{0.025} = 1.96$ である。

したがって、

$10.3 - 1.96 \frac{1.5}{\sqrt{36}} \le m \le 10.3 + 1.96 \frac{1.5}{\sqrt{36}}$

$10.3 - 1.96 \frac{1.5}{6} \le m \le 10.3 + 1.96 \frac{1.5}{6}$

$10.3 - 1.96 \times 0.25 \le m \le 10.3 + 1.96 \times 0.25$

$10.3 - 0.49 \le m \le 10.3 + 0.49$

$9.81 \le m \le 10.79$

3. 最終的な答え

(1) 0.4772

(2) 9.81 $\le$ m $\le$ 10.79