2つのサイコロA, Bを同時に投げ、サイコロAの出た目を$a$, サイコロBの出た目を$b$とする。関数$y = ax + b$のグラフである直線が長方形OPRQの面積を2等分する確率を求める。ただし、O(0,0), P(6,0), Q(0,18), R(6,18)である。

1. 問題の内容

2つのサイコロA, Bを同時に投げ、サイコロAの出た目を$a$, サイコロBの出た目を$b$とする。関数$y = ax + b$のグラフである直線が長方形OPRQの面積を2等分する確率を求める。ただし、O(0,0), P(6,0), Q(0,18), R(6,18)である。

2. 解き方の手順

長方形OPRQの面積は$6 \times 18 = 108$である。面積を2等分するためには、直線が長方形の中心を通る必要がある。長方形の中心は、線分PRの中点、または線分OQの中点であり、その座標は$(3, 9)$である。

直線$y = ax + b$が点$(3, 9)$を通る時、$9 = 3a + b$が成立する。

$a$と$b$はサイコロの目なので、1から6までの整数である。

$3a + b = 9$を満たす$a$と$b$の組み合わせを考える。

$a = 1$のとき、$3(1) + b = 9$より、$b = 6$

$a = 2$のとき、$3(2) + b = 9$より、$b = 3$

$a = 3$のとき、$3(3) + b = 9$より、$b = 0$

$a = 0$のとき、$3(0) + b = 9$より、$b = 9$

$a, b$は1から6までの整数なので、$a = 3, b = 0$および$a = 0, b = 9$は不適である。

したがって、$3a + b = 9$を満たすのは、$(a, b) = (1, 6), (2, 3)$の2通りである。

サイコロAとBの目の出方は全部で$6 \times 6 = 36$通りある。

したがって、求める確率は$\frac{2}{36} = \frac{1}{18}$である。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{18}$