赤い袋に1と2のカード、白い袋に2と4のカードが入っている。それぞれの袋から1枚ずつカードを取り出す。赤い袋から取り出したカードの数を確率変数$A$、白い袋から取り出したカードの数を確率変数$B$とする。 $A=2$となる確率、確率変数$A$の期待値$E(A)$と分散$V(A)$を求める。 次に、十の位が$A$、一の位が$B$である2桁の数を表す確率変数$M$の期待値$E(M)$と分散$V(M)$を求める。

1. 問題の内容

赤い袋に1と2のカード、白い袋に2と4のカードが入っている。それぞれの袋から1枚ずつカードを取り出す。赤い袋から取り出したカードの数を確率変数$A$、白い袋から取り出したカードの数を確率変数$B$とする。

$A=2$となる確率、確率変数$A$の期待値$E(A)$と分散$V(A)$を求める。

次に、十の位が$A$、一の位が$B$である2桁の数を表す確率変数$M$の期待値$E(M)$と分散$V(M)$を求める。

2. 解き方の手順

まず、$A=2$となる確率を求める。赤い袋には1と2のカードが1枚ずつ入っているので、$A=2$となる確率は$\frac{1}{2}$。

次に、$E(A)$を求める。$A$は1または2の値を取る。$P(A=1) = \frac{1}{2}$、$P(A=2) = \frac{1}{2}$なので、

$E(A) = 1 \times \frac{1}{2} + 2 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$。

次に、$V(A)$を求める。

$E(A^2) = 1^2 \times \frac{1}{2} + 2^2 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{4}{2} = \frac{5}{2}$。

$V(A) = E(A^2) - (E(A))^2 = \frac{5}{2} - (\frac{3}{2})^2 = \frac{5}{2} - \frac{9}{4} = \frac{10}{4} - \frac{9}{4} = \frac{1}{4}$。

次に、$E(M)$を求める。$M = 10A + B$なので、$E(M) = 10E(A) + E(B)$。

$B$は2または4の値を取る。$P(B=2) = \frac{1}{2}$、$P(B=4) = \frac{1}{2}$なので、$E(B) = 2 \times \frac{1}{2} + 4 \times \frac{1}{2} = 1 + 2 = 3$。

したがって、$E(M) = 10 \times \frac{3}{2} + 3 = 15 + 3 = 18$。

最後に、$V(M)$を求める。$V(M) = V(10A + B) = 10^2V(A) + V(B)$。（$A$と$B$は独立なので共分散は0）

$E(B^2) = 2^2 \times \frac{1}{2} + 4^2 \times \frac{1}{2} = \frac{4}{2} + \frac{16}{2} = 2 + 8 = 10$。

$V(B) = E(B^2) - (E(B))^2 = 10 - 3^2 = 10 - 9 = 1$。

したがって、$V(M) = 100 \times \frac{1}{4} + 1 = 25 + 1 = 26$。

3. 最終的な答え

$A=2$となる確率は $\frac{1}{2}$。

$E(A) = \frac{3}{2}$。

$V(A) = \frac{1}{4}$。

$E(M) = 18$。

$V(M) = 26$。