問題文は、ある生産地で生産されるピーマンの重さ $X$ が正規分布 $N(m, \sigma^2)$ に従うとき、以下の問いに答えるものです。 (i) 1個のピーマンを無作為に抽出したとき、重さが $m$ g以上である確率 $P(X \ge m)$ を求めます。 (ii) 大きさ $n$ の標本 $X_1, X_2, ..., X_n$ の標本平均を $\overline{X}$ とするとき、$\overline{X}$ の平均（期待値）$E(\overline{X})$ と標準偏差 $\sigma(\overline{X})$ を求めます。 また、$n=400$, 標本平均が30.0g、標本の標準偏差が3.6gのとき、$m$の信頼度90%の信頼区間を求めるための$z_0$の値を求めます。

1. 問題の内容

問題文は、ある生産地で生産されるピーマンの重さ $X$ が正規分布 $N(m, \sigma^2)$ に従うとき、以下の問いに答えるものです。

(i) 1個のピーマンを無作為に抽出したとき、重さが $m$ g以上である確率 $P(X \ge m)$ を求めます。

(ii) 大きさ $n$ の標本 $X_1, X_2, ..., X_n$ の標本平均を $\overline{X}$ とするとき、$\overline{X}$ の平均（期待値）$E(\overline{X})$ と標準偏差 $\sigma(\overline{X})$ を求めます。

また、$n=400$, 標本平均が30.0g、標本の標準偏差が3.6gのとき、$m$の信頼度90%の信頼区間を求めるための$z_0$の値を求めます。

2. 解き方の手順

(i) $P(X \ge m)$ を変形します。

$P(X \ge m) = P(\frac{X-m}{\sigma} \ge \frac{m-m}{\sigma}) = P(\frac{X-m}{\sigma} \ge 0)$

$\frac{X-m}{\sigma}$ は標準正規分布 $N(0,1)$ に従うので、

$P(\frac{X-m}{\sigma} \ge 0) = \frac{1}{2}$

したがって、アは0、イは1、ウは2となります。

(ii)

標本平均 $\overline{X}$ の期待値は、母集団の平均に等しいので、

$E(\overline{X}) = m$

$\overline{X}$ の標準偏差は、母集団の標準偏差を標本サイズの平方根で割ったものに等しいので、

$\sigma(\overline{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

したがって、エはm、オは$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$となります。

$n = 400$, 標本平均 $\overline{x} = 30.0$, 標本の標準偏差 $s = 3.6$ のとき、母平均 $m$ の90%信頼区間を求める問題を考えます。

$P(-z_0 \le Z \le z_0) = 0.901$ を満たす $z_0$ を求めることが方針に書かれています。信頼度90%なので、$P(-z_0 \le Z \le z_0) = 0.9$となる$z_0$を使用するのが一般的です。

$P(-z_0 \le Z \le z_0) = 0.9$

$P(0 \le Z \le z_0) = 0.45$

標準正規分布表より、$z_0 \approx 1.645$

したがって、カは1、キクは645となります。

3. 最終的な答え

ア：0

イ：1

ウ：2

エ：m

オ：$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

カ：1

キク：645