n=6のデータとして(1,0), (0,1), (0,1), (1,1), (1,1), (1,1)が得られたとき、相関係数の値に最も近いものを選択する。

1. 問題の内容

n=6のデータとして(1,0), (0,1), (0,1), (1,1), (1,1), (1,1)が得られたとき、相関係数の値に最も近いものを選択する。

2. 解き方の手順

与えられたデータは、二つの変数 $x$ と $y$ のペアとして表されています。

相関係数 $r$ は、以下の式で計算できます。

$r = \frac{Cov(x,y)}{\sigma_x \sigma_y}$

ここで、$Cov(x,y)$ は $x$ と $y$ の共分散であり、$\sigma_x$ と $\sigma_y$ はそれぞれ $x$ と $y$ の標準偏差です。

まず、$x$ と $y$ の平均を計算します。

$x$ の値は、1, 0, 0, 1, 1, 1であり、$y$ の値は、0, 1, 1, 1, 1, 1です。

$x$ の平均 $\bar{x}$ は、$\frac{1+0+0+1+1+1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

$y$ の平均 $\bar{y}$ は、$\frac{0+1+1+1+1+1}{6} = \frac{5}{6}$

次に、$x$ と $y$ の分散を計算します。

$x$ の分散 $\sigma_x^2$ は、$\frac{1}{6}\sum_{i=1}^{6}(x_i - \bar{x})^2 = \frac{1}{6}[(1-\frac{2}{3})^2 + (0-\frac{2}{3})^2 + (0-\frac{2}{3})^2 + (1-\frac{2}{3})^2 + (1-\frac{2}{3})^2 + (1-\frac{2}{3})^2] = \frac{1}{6}[(\frac{1}{3})^2 + (\frac{-2}{3})^2 + (\frac{-2}{3})^2 + (\frac{1}{3})^2 + (\frac{1}{3})^2 + (\frac{1}{3})^2] = \frac{1}{6}[\frac{1}{9} + \frac{4}{9} + \frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9}] = \frac{1}{6} \cdot \frac{12}{9} = \frac{2}{9}$

$y$ の分散 $\sigma_y^2$ は、$\frac{1}{6}\sum_{i=1}^{6}(y_i - \bar{y})^2 = \frac{1}{6}[(0-\frac{5}{6})^2 + (1-\frac{5}{6})^2 + (1-\frac{5}{6})^2 + (1-\frac{5}{6})^2 + (1-\frac{5}{6})^2 + (1-\frac{5}{6})^2] = \frac{1}{6}[(\frac{-5}{6})^2 + (\frac{1}{6})^2 + (\frac{1}{6})^2 + (\frac{1}{6})^2 + (\frac{1}{6})^2 + (\frac{1}{6})^2] = \frac{1}{6}[\frac{25}{36} + \frac{1}{36} + \frac{1}{36} + \frac{1}{36} + \frac{1}{36} + \frac{1}{36}] = \frac{1}{6} \cdot \frac{30}{36} = \frac{5}{36}$

$x$ と $y$ の標準偏差は、それぞれ $\sigma_x = \sqrt{\frac{2}{9}} = \frac{\sqrt{2}}{3}$ と $\sigma_y = \sqrt{\frac{5}{36}} = \frac{\sqrt{5}}{6}$

次に、$x$ と $y$ の共分散を計算します。

$Cov(x,y) = \frac{1}{6}\sum_{i=1}^{6}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = \frac{1}{6}[(1-\frac{2}{3})(0-\frac{5}{6}) + (0-\frac{2}{3})(1-\frac{5}{6}) + (0-\frac{2}{3})(1-\frac{5}{6}) + (1-\frac{2}{3})(1-\frac{5}{6}) + (1-\frac{2}{3})(1-\frac{5}{6}) + (1-\frac{2}{3})(1-\frac{5}{6})] = \frac{1}{6}[(\frac{1}{3})(\frac{-5}{6}) + (\frac{-2}{3})(\frac{1}{6}) + (\frac{-2}{3})(\frac{1}{6}) + (\frac{1}{3})(\frac{1}{6}) + (\frac{1}{3})(\frac{1}{6}) + (\frac{1}{3})(\frac{1}{6})] = \frac{1}{6}[\frac{-5}{18} - \frac{2}{18} - \frac{2}{18} + \frac{1}{18} + \frac{1}{18} + \frac{1}{18}] = \frac{1}{6}[\frac{-6}{18}] = \frac{-1}{18}$

最後に、相関係数 $r$ を計算します。

$r = \frac{Cov(x,y)}{\sigma_x \sigma_y} = \frac{\frac{-1}{18}}{\frac{\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{5}}{6}} = \frac{\frac{-1}{18}}{\frac{\sqrt{10}}{18}} = \frac{-1}{\sqrt{10}} \approx -0.316$

選択肢の中で最も近い値は -0.32です。

3. 最終的な答え

-0.32