5つの店における商品Pと商品Qの1日の販売数が与えられている。商品Pの販売数を変量$x$、商品Qの販売数を変量$y$とする。以下の問いに答える。 (1) $x$の分散と標準偏差を求める。 (2) $x$と$y$の共分散を求める。 (3) $x$と$y$の相関係数を求める。ただし、$ \sqrt{5} = 2.2 $とし、小数第2位を四捨五入する。 (4) $x$と$y$の間の相関を選ぶ。

1. 問題の内容

5つの店における商品Pと商品Qの1日の販売数が与えられている。商品Pの販売数を変量$x$、商品Qの販売数を変量$y$とする。以下の問いに答える。

(1) $x$の分散と標準偏差を求める。

(2) $x$と$y$の共分散を求める。

(3) $x$と$y$の相関係数を求める。ただし、$\sqrt{5} = 2.2$とし、小数第2位を四捨五入する。

(4) $x$と$y$の間の相関を選ぶ。

2. 解き方の手順

まず、表を完成させる。

$x$の平均 $\bar{x} = 25/5 = 5$

$y$の平均 $\bar{y} = 20/5 = 4$

| 店 | $x$ | $y$ | $x-\bar{x}$ | $y-\bar{y}$ | $(x-\bar{x})^2$ | $(y-\bar{y})^2$ | $(x-\bar{x})(y-\bar{y})$ |

|---|---|---|---|---|---|---|---|

| A | 5 | 3 | 0 | -1 | 0 | 1 | 0 |

| B | 4 | 3 | -1 | -1 | 1 | 1 | 1 |

| C | 8 | 5 | 3 | 1 | 9 | 1 | 3 |

| D | 2 | 2 | -3 | -2 | 9 | 4 | 6 |

| E | 6 | 7 | 1 | 3 | 1 | 9 | 3 |

| 計 | 25 | 20 | | | 20 | 16 | 13 |

(1)

$x$の分散は $\frac{1}{5} \sum_{i=1}^5 (x_i - \bar{x})^2 = \frac{20}{5} = 4$

$x$の標準偏差は $\sqrt{分散} = \sqrt{4} = 2$

(2)

$x$と$y$の共分散は $\frac{1}{5} \sum_{i=1}^5 (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = \frac{13}{5} = 2.6$

(3)

$y$の分散は $\frac{1}{5} \sum_{i=1}^5 (y_i - \bar{y})^2 = \frac{16}{5} = 3.2$

$y$の標準偏差は $\sqrt{分散} = \sqrt{3.2} = \sqrt{\frac{16}{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{5} = \frac{4(2.2)}{5} = \frac{8.8}{5} = 1.76$

$x$と$y$の相関係数は $\frac{共分散}{xの標準偏差 \times yの標準偏差} = \frac{2.6}{2 \times 1.76} = \frac{2.6}{3.52} \approx 0.7386 \approx 0.74$

(4)

相関係数が正なので、正の相関がある。

3. 最終的な答え

(1) $x$の分散は4、標準偏差は2個である。

(2) $x$と$y$の共分散は2.6である。

(3) $x$と$y$の相関係数は0.74である。

(4) 1, 1