この問題は、順列組み合わせ、経路問題、確率の問題です。具体的には、7人の並び方、最短経路の数、カードを引く確率を求める問題です。

1. 問題の内容

この問題は、順列組み合わせ、経路問題、確率の問題です。具体的には、7人の並び方、最短経路の数、カードを引く確率を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 生徒4人が隣り合う並び方

生徒4人をひとまとめにして考えると、全体で4つのものを並べることになる（生徒の塊1つと先生3人）。

これらを並べる方法は $4!$ 通り。

生徒4人の中での並び方は $4!$ 通り。

したがって、生徒4人が隣り合う並び方は、$4! \times 4! = 24 \times 24 = 576$ 通り。

(2) 先生どうしが隣り合わない並び方

まず生徒4人を並べる。これは $4!$ 通り。

生徒の間と両端の5箇所に先生3人を並べる。これは ${}_5P_3$ 通り。

したがって、先生どうしが隣り合わない並び方は、$4! \times {}_5P_3 = 24 \times (5 \times 4 \times 3) = 24 \times 60 = 1440$ 通り。

(3) 生徒2人と先生2人を選ぶ方法

生徒4人から2人を選ぶ方法は ${}_4C_2$ 通り。

先生3人から2人を選ぶ方法は ${}_3C_2$ 通り。

したがって、生徒2人と先生2人を選ぶ方法は、${}_4C_2 \times {}_3C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} \times \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 6 \times 3 = 18$ 通り。

(4) 少なくとも1人は先生である選び方

3人を選ぶすべての選び方は ${}_7C_3$ 通り。

3人とも生徒である選び方は ${}_4C_3$ 通り。

したがって、少なくとも1人は先生である選び方は、${}_7C_3 - {}_4C_3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} - \frac{4 \times 3 \times 2}{3 \times 2 \times 1} = 35 - 4 = 31$ 通り。

(5) A地点からB地点への最短経路

右に5回、上に3回移動する必要がある。

これは、8回の移動のうち、上に3回移動する場所を選ぶ方法と同じなので、${}_8C_3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ 通り。

(6) P地点を通るA地点からB地点への最短経路

A地点からP地点への最短経路は、右に2回、上に1回移動する。これは ${}_3C_1 = 3$ 通り。

P地点からB地点への最短経路は、右に3回、上に2回移動する。これは ${}_5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通り。

したがって、P地点を通るA地点からB地点への最短経路は、 $3 \times 10 = 30$ 通り。

(7) 1枚だけ奇数である確率

1から5までの数字が書かれたカードがそれぞれ3枚ずつ、合計15枚ある。

奇数は1, 3, 5なので、奇数のカードは9枚。偶数は2, 4なので、偶数のカードは6枚。

2枚のカードの選び方は ${}_{15}C_2 = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105$ 通り。

1枚だけ奇数である選び方は、奇数1枚と偶数1枚を選ぶことなので、$9 \times 6 = 54$ 通り。

したがって、1枚だけ奇数である確率は、$\frac{54}{105} = \frac{18}{35}$。

(8) 少なくとも1枚が奇数である確率

少なくとも1枚が奇数である確率は、1から2枚とも偶数である確率を引けば良い。

2枚とも偶数である選び方は ${}_6C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ 通り。

したがって、2枚とも偶数である確率は $\frac{15}{105} = \frac{1}{7}$。

少なくとも1枚が奇数である確率は、 $1 - \frac{1}{7} = \frac{6}{7}$。

3. 最終的な答え

(1) 576

(2) 1440

(3) 18

(4) 31

(5) 56

(6) 30

(7) 18/35

(8) 6/7