男子4人、女子3人の合計7人が1列に並ぶときの、以下の並び方の数を求める。 (1) 並び方の総数 (2) 男子が両端にくる並び方 (3) 女子が隣り合わない並び方 (4) 少なくとも一方の端に女子がくる並び方

1. 問題の内容

男子4人、女子3人の合計7人が1列に並ぶときの、以下の並び方の数を求める。

(1) 並び方の総数

(2) 男子が両端にくる並び方

(3) 女子が隣り合わない並び方

(4) 少なくとも一方の端に女子がくる並び方

2. 解き方の手順

(1) 並び方の総数

7人を1列に並べる並び方の総数は、7の階乗で計算される。

$7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$

(2) 男子が両端にくる並び方

両端に男子がくるので、まず両端の男子の選び方を考える。4人の中から2人を選んで並べるので、$4 \times 3 = 12$通り。

残りの5人（男子2人、女子3人）を並べる並び方は$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$通り。

したがって、男子が両端にくる並び方は、$12 \times 120 = 1440$通り。

(3) 女子が隣り合わない並び方

まず男子4人を並べる。並び方は$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$通り。

次に、男子4人の間にできる5つのスペース（両端を含む）から3つを選んで女子を並べる。スペースの選び方は$_{5}P_{3} = 5 \times 4 \times 3 = 60$通り。

したがって、女子が隣り合わない並び方は、$24 \times 60 = 1440$通り。

(4) 少なくとも一方の端に女子がくる並び方

これは、すべての並び方から両端に男子がくる並び方を引けばよい。

(1)で求めた並び方の総数は5040通り、(2)で求めた両端に男子がくる並び方は1440通りなので、

$5040 - 1440 = 3600$通り。

または、余事象を考えると、両端に男子が並ぶ場合の反対は、少なくとも一方の端に女子が並ぶ場合である。

3. 最終的な答え

(1) 並び方の総数: 5040通り

(2) 男子が両端にくる並び方: 1440通り

(3) 女子が隣り合わない並び方: 1440通り

(4) 少なくとも一方の端に女子がくる並び方: 3600通り