袋の中に赤球3個、青球2個、白球1個が入っている。この袋から3個の球を同時に取り出すとき、以下の確率を求めよ。 (1) 取り出した3個の球がすべて赤球である確率 (2) 取り出した3個の球のうち、1個だけ赤球である確率 (3) 取り出した3個の球の色がすべて異なる確率

1. 問題の内容

袋の中に赤球3個、青球2個、白球1個が入っている。この袋から3個の球を同時に取り出すとき、以下の確率を求めよ。

(1) 取り出した3個の球がすべて赤球である確率

(2) 取り出した3個の球のうち、1個だけ赤球である確率

(3) 取り出した3個の球の色がすべて異なる確率

2. 解き方の手順

まず、袋から3個の球を取り出す場合の総数を求める。これは、6個の球から3個を選ぶ組み合わせなので、$_6C_3$ で計算できる。

$_6C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

(1) 3個とも赤球である確率

3個の赤球から3個を選ぶ組み合わせは $_3C_3 = 1$ 通り。

したがって、3個とも赤球である確率は、

$\frac{_3C_3}{_6C_3} = \frac{1}{20}$

(2) 1個だけ赤球である確率

赤球を1個選び、残りの2個は赤球以外（青球2個、白球1個の合計3個）から選ぶ。

赤球の選び方は $_3C_1 = 3$ 通り。

赤球以外の2個の選び方は $_3C_2 = \frac{3!}{2!1!} = 3$ 通り。

したがって、1個だけ赤球である選び方は $3 \times 3 = 9$ 通り。

確率は $\frac{9}{20}$

(3) 3個の球の色がすべて異なる確率

3個の球の色がすべて異なるのは、赤球、青球、白球をそれぞれ1個ずつ選ぶ場合。

赤球の選び方は $_3C_1 = 3$ 通り。

青球の選び方は $_2C_1 = 2$ 通り。

白球の選び方は $_1C_1 = 1$ 通り。

したがって、3個の球の色がすべて異なる選び方は $3 \times 2 \times 1 = 6$ 通り。

確率は $\frac{6}{20} = \frac{3}{10}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{20}$

(2) $\frac{9}{20}$

(3) $\frac{3}{10}$