確率に関する3つの小問と、期待値を求める問題があります。 (1) 1から100までの数字が書かれたカードから1枚引くとき、3の倍数または4の倍数である確率、および3の倍数だが4の倍数ではない確率を求めます。 (2) 1個のサイコロを4回投げるとき、1の目がちょうど2回出る確率を求めます。 (3) 当たりくじ3本を含む10本のくじをA, Bの順に引くとき、Bが当たりくじを引いたことがわかったという条件のもとで、Aも当たりくじを引いている確率を求めます。 (4) 20本のくじがあり、1等100円が1本、2等50円が2本、3等10円が6本であるとき、このくじを1本引くときの賞金の期待値を求めます。

1. 問題の内容

確率に関する3つの小問と、期待値を求める問題があります。

(1) 1から100までの数字が書かれたカードから1枚引くとき、3の倍数または4の倍数である確率、および3の倍数だが4の倍数ではない確率を求めます。

(2) 1個のサイコロを4回投げるとき、1の目がちょうど2回出る確率を求めます。

(3) 当たりくじ3本を含む10本のくじをA, Bの順に引くとき、Bが当たりくじを引いたことがわかったという条件のもとで、Aも当たりくじを引いている確率を求めます。

(4) 20本のくじがあり、1等100円が1本、2等50円が2本、3等10円が6本であるとき、このくじを1本引くときの賞金の期待値を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、1から100までの数字のうち、3の倍数の個数を求めます。

$100 \div 3 = 33$ 余り $1$ なので、3の倍数は33個です。

次に、4の倍数の個数を求めます。

$100 \div 4 = 25$ なので、4の倍数は25個です。

次に、3の倍数かつ4の倍数、つまり12の倍数の個数を求めます。

$100 \div 12 = 8$ 余り $4$ なので、12の倍数は8個です。

3の倍数または4の倍数である確率は、3の倍数の個数と4の倍数の個数を足し、3と4の最小公倍数である12の倍数の個数を引くことで計算できます。これは包除原理を使用しています。

確率は、(3の倍数の個数 + 4の倍数の個数 - 12の倍数の個数) / 全体の個数 で求められます。

$P(3の倍数 \cup 4の倍数) = \frac{33+25-8}{100} = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$

3の倍数だが4の倍数ではない確率は、3の倍数の個数から12の倍数の個数を引いたものを、全体の個数で割ることで計算できます。

$P(3の倍数 \cap 4の倍数でない) = \frac{33 - 8}{100} = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$

(2)

1個のサイコロを4回投げるとき、1の目がちょうど2回出る確率は、二項分布に従います。

1の目が出る確率を $p = \frac{1}{6}$、1の目が出ない確率を $q = 1 - p = \frac{5}{6}$ とします。

4回の試行のうち、2回1の目が出る確率は、

$_{4}C_{2} \times p^2 \times q^2 = \frac{4!}{2!2!} \times (\frac{1}{6})^2 \times (\frac{5}{6})^2 = 6 \times \frac{1}{36} \times \frac{25}{36} = \frac{150}{1296} = \frac{25}{216}$

(3)

Bが当たりくじを引いたという条件のもとで、Aも当たりくじを引いている確率を求めます。

まず、Aが当たりくじを引く確率は $\frac{3}{10}$ です。

次に、Aが当たりくじを引いたとき、Bが当たりくじを引く確率は $\frac{2}{9}$ です。

Aがはずれくじを引く確率は $\frac{7}{10}$ です。

Aがはずれくじを引いたとき、Bが当たりくじを引く確率は $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ です。

Bが当たりくじを引く確率は、

$\frac{3}{10} \times \frac{2}{9} + \frac{7}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{6}{90} + \frac{21}{90} = \frac{27}{90} = \frac{3}{10}$

AもBも当たりくじを引く確率は $\frac{3}{10} \times \frac{2}{9} = \frac{6}{90} = \frac{1}{15}$ です。

求める条件付き確率は、

$\frac{P(Aが当たり \cap Bが当たり)}{P(Bが当たり)} = \frac{\frac{1}{15}}{\frac{3}{10}} = \frac{1}{15} \times \frac{10}{3} = \frac{10}{45} = \frac{2}{9}$

(4)

賞金の期待値は、各賞金額とその賞金が当たる確率を掛け合わせたものの合計です。

1等100円が当たる確率は $\frac{1}{20}$ です。

2等50円が当たる確率は $\frac{2}{20} = \frac{1}{10}$ です。

3等10円が当たる確率は $\frac{6}{20} = \frac{3}{10}$ です。

期待値は、

$100 \times \frac{1}{20} + 50 \times \frac{2}{20} + 10 \times \frac{6}{20} = \frac{100}{20} + \frac{100}{20} + \frac{60}{20} = \frac{260}{20} = 13$ (円)

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2}$、$\frac{1}{4}$

(2) $\frac{25}{216}$

(3) $\frac{2}{9}$

(4) $13$