3個のさいころを同時に投げ、出た目のうちの最大値を$X$とする。$X \times 1000$円の賞金が得られるとき、得られる賞金の期待値を求める問題。小数点以下を切り捨てて整数で答える。

1. 問題の内容

3個のさいころを同時に投げ、出た目のうちの最大値を$X$とする。$X \times 1000$円の賞金が得られるとき、得られる賞金の期待値を求める問題。小数点以下を切り捨てて整数で答える。

2. 解き方の手順

まず、最大値が$k$となる確率$P(X=k)$を求める。これは、$k=1, 2, 3, 4, 5, 6$に対して計算する。

$P(X=k)$は、「3つのサイコロの目がすべて$k$以下である」確率から「3つのサイコロの目がすべて$k-1$以下である」確率を引くことで計算できる。

サイコロの目がすべて$k$以下である確率は、$(k/6)^3$。

したがって、$P(X=k) = (k/6)^3 - ((k-1)/6)^3$。

次に、賞金の期待値$E$を求める。期待値は、各賞金とその賞金が得られる確率の積の和で計算できる。

$E = \sum_{k=1}^{6} (k \times 1000) \times P(X=k) = \sum_{k=1}^{6} (k \times 1000) \times \left( (\frac{k}{6})^3 - (\frac{k-1}{6})^3 \right)$

この式を計算する。

$E = 1000 \sum_{k=1}^{6} k \left( \frac{k^3}{6^3} - \frac{(k-1)^3}{6^3} \right)$

$= \frac{1000}{216} \sum_{k=1}^{6} k (k^3 - (k^3 - 3k^2 + 3k - 1))$

$= \frac{1000}{216} \sum_{k=1}^{6} k (3k^2 - 3k + 1)$

$= \frac{1000}{216} \sum_{k=1}^{6} (3k^3 - 3k^2 + k)$

$= \frac{1000}{216} \left[ 3 \sum_{k=1}^{6} k^3 - 3 \sum_{k=1}^{6} k^2 + \sum_{k=1}^{6} k \right]$

ここで、公式 $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$, $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, $\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2$ を使用する。

$\sum_{k=1}^{6} k = \frac{6 \times 7}{2} = 21$

$\sum_{k=1}^{6} k^2 = \frac{6 \times 7 \times 13}{6} = 91$

$\sum_{k=1}^{6} k^3 = \left( \frac{6 \times 7}{2} \right)^2 = 21^2 = 441$

したがって、

$E = \frac{1000}{216} [3 \times 441 - 3 \times 91 + 21] = \frac{1000}{216} [1323 - 273 + 21] = \frac{1000}{216} [1071] = \frac{1071000}{216} = 4958.333...$

小数点以下を切り捨てると、4958円となる。

3. 最終的な答え

4958 円