問題18：赤球3個、青球2個、白球1個の合計6個の球が入った袋から、3個の球を同時に取り出すとき、以下の確率を求めます。 (1) 取り出した3個の球がすべて赤球である確率 (2) 取り出した3個の球のうち、1個だけ赤球である確率 (3) 取り出した3個の球の色がすべて異なる確率 問題19：大小中3個のさいころを同時に投げるとき、以下の確率を求めます。 (1) 目の和が5になる確率 (2) 目の積が8になる確率 問題20：A, B, C の3つのクラスについて、通学手段ごとの生徒数が表に示されています。無作為にクラスを1つ決定し、その後、そのクラスから無作為に1人選ぶとします。選んだ生徒がバス通学であるとき、その生徒がBクラスに所属している条件付き確率を求めます。

1. 問題の内容

問題18：赤球3個、青球2個、白球1個の合計6個の球が入った袋から、3個の球を同時に取り出すとき、以下の確率を求めます。

(1) 取り出した3個の球がすべて赤球である確率

(2) 取り出した3個の球のうち、1個だけ赤球である確率

(3) 取り出した3個の球の色がすべて異なる確率

問題19：大小中3個のさいころを同時に投げるとき、以下の確率を求めます。

(1) 目の和が5になる確率

(2) 目の積が8になる確率

問題20：A, B, C の3つのクラスについて、通学手段ごとの生徒数が表に示されています。無作為にクラスを1つ決定し、その後、そのクラスから無作為に1人選ぶとします。選んだ生徒がバス通学であるとき、その生徒がBクラスに所属している条件付き確率を求めます。

2. 解き方の手順

問題18：

(1) 3個とも赤球である確率：

全事象は6個から3個を取り出す組み合わせなので、${}_6 C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6\times5\times4}{3\times2\times1} = 20$通り

3個とも赤球であるのは、3個の赤球から3個を取り出す組み合わせなので、${}_3 C_3 = 1$通り

よって、確率は$\frac{1}{20}$

(2) 1個だけ赤球である確率：

赤球1個、残りの2個は赤球以外から選ぶ。

赤球の選び方は${}_3 C_1 = 3$通り。

赤球以外の3個（青2個、白1個）から2個を選ぶ組み合わせは${}_3 C_2 = 3$通り。

よって、1個だけ赤球である選び方は$3 \times 3 = 9$通り。

確率は$\frac{9}{20}$

(3) 3個の色がすべて異なる確率：

赤球1個、青球1個、白球1個を選ぶ組み合わせは、${}_3 C_1 \times {}_2 C_1 \times {}_1 C_1 = 3 \times 2 \times 1 = 6$通り。

よって、確率は$\frac{6}{20} = \frac{3}{10}$

問題19：

(1) 目の和が5になる確率：

3つのサイコロの目の出方の総数は$6 \times 6 \times 6 = 216$通り。

和が5になるのは、(1,1,3), (1,3,1), (3,1,1), (1,2,2), (2,1,2), (2,2,1)の6通り。

確率は$\frac{6}{216} = \frac{1}{36}$

(2) 目の積が8になる確率：

積が8になるのは、(1,1,8)はありえない。(1,2,4), (1,4,2), (2,1,4), (2,4,1), (4,1,2), (4,2,1), (2,2,2)の場合がある。

(2,2,2)は1通り。 (1,2,4)の組み合わせは3! = 6通り。よって、合計7通り。

確率は$\frac{7}{216}$

問題20：

まず、クラスを選ぶ確率はA, B, Cそれぞれ$\frac{1}{3}$。

A, B, Cの生徒数はそれぞれ、5+15+25=45人, 8+18+10=36人, 6+6+30=42人。

バス通学の生徒はA, B, Cそれぞれ5人, 8人, 6人。

選んだ生徒がバス通学である確率は、$\frac{1}{3} \times \frac{5}{45} + \frac{1}{3} \times \frac{8}{36} + \frac{1}{3} \times \frac{6}{42} = \frac{1}{3} (\frac{1}{9} + \frac{2}{9} + \frac{1}{7}) = \frac{1}{3}(\frac{3}{9}+\frac{1}{7}) = \frac{1}{3} (\frac{1}{3} + \frac{1}{7}) = \frac{1}{3} \times \frac{10}{21} = \frac{10}{63}$

バス通学の生徒がBクラスに所属している確率は、$\frac{\frac{1}{3} \times \frac{8}{36}}{\frac{10}{63}} = \frac{\frac{8}{108}}{\frac{10}{63}} = \frac{8}{108} \times \frac{63}{10} = \frac{2}{27} \times \frac{63}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{7}{5} = \frac{14}{15 \times 3} = \frac{14}{45 \times 10/21} = \frac{14}{45}$

条件付き確率（選ばれた生徒がバス通学のとき、その生徒がBクラスに所属している確率）は、

$\frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{8}{36}}{\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{45} + \frac{1}{3} \cdot \frac{8}{36} + \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{42}} = \frac{\frac{8}{36}}{\frac{5}{45} + \frac{8}{36} + \frac{6}{42}} = \frac{\frac{2}{9}}{\frac{1}{9} + \frac{2}{9} + \frac{1}{7}} = \frac{\frac{2}{9}}{\frac{3}{9} + \frac{1}{7}} = \frac{\frac{2}{9}}{\frac{1}{3} + \frac{1}{7}} = \frac{\frac{2}{9}}{\frac{10}{21}} = \frac{2}{9} \times \frac{21}{10} = \frac{1}{3} \times \frac{7}{5} = \frac{7}{15}$

3. 最終的な答え

問題18：

(1) $\frac{1}{20}$

(2) $\frac{9}{20}$

(3) $\frac{3}{10}$

問題19：

(1) $\frac{1}{36}$

(2) $\frac{7}{216}$

問題20：

$\frac{7}{15}$