(1) 1から100までの数字が書かれた100枚のカードから1枚引くとき、3の倍数または4の倍数である確率と、3の倍数だが4の倍数でない確率を求める。 (2) 1個のサイコロを4回投げるとき、1の目がちょうど2回出る確率を求める。 (3) 3本の当たりくじを含む10本のくじをA, Bの順に引くとき、Bが当たりくじを引いたことがわかっているとき、Aも当たりくじを引いている確率を求める。ただし、引いたくじは戻さない。 (4) 20本のくじがあり、当たりくじは1等100円が1本、2等50円が2本、3等10円が6本であるとき、このくじを1本引くときの賞金の期待値を求める。

1. 問題の内容

(1) 1から100までの数字が書かれた100枚のカードから1枚引くとき、3の倍数または4の倍数である確率と、3の倍数だが4の倍数でない確率を求める。

(2) 1個のサイコロを4回投げるとき、1の目がちょうど2回出る確率を求める。

(3) 3本の当たりくじを含む10本のくじをA, Bの順に引くとき、Bが当たりくじを引いたことがわかっているとき、Aも当たりくじを引いている確率を求める。ただし、引いたくじは戻さない。

(4) 20本のくじがあり、当たりくじは1等100円が1本、2等50円が2本、3等10円が6本であるとき、このくじを1本引くときの賞金の期待値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

* 3の倍数の個数: $100 \div 3 = 33$ (余り1) より、33個

* 4の倍数の個数: $100 \div 4 = 25$ より、25個

* 12の倍数の個数(3と4の公倍数): $100 \div 12 = 8$ (余り4) より、8個

* 3の倍数または4の倍数の個数: $33 + 25 - 8 = 50$

* 3の倍数または4の倍数である確率: $\frac{50}{100} = \frac{1}{2}$

* 3の倍数で4の倍数でもある個数(12の倍数): 8個

* 3の倍数だが4の倍数でない個数: $33 - 8 = 25$

* 3の倍数だが4の倍数でない確率: $\frac{25}{100} = \frac{1}{4}$

(2)

* 4回中2回1の目が出る組み合わせ: $_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

* 1の目が出る確率: $\frac{1}{6}$

* 1の目が出ない確率: $\frac{5}{6}$

* 1の目がちょうど2回出る確率: $6 \times (\frac{1}{6})^2 \times (\frac{5}{6})^2 = 6 \times \frac{1}{36} \times \frac{25}{36} = \frac{150}{1296} = \frac{25}{216}$

(3)

Bが当たりを引いたとき、Aも当たりを引いている確率を求める。

* Aが当たり、Bが当たりの確率: $\frac{3}{10} \times \frac{2}{9} = \frac{6}{90} = \frac{1}{15}$

* Aが外れ、Bが当たりの確率: $\frac{7}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{21}{90} = \frac{7}{30}$

* Bが当たりを引く確率: $\frac{3}{10} \times \frac{2}{9} + \frac{7}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{1}{15} + \frac{7}{30} = \frac{2+7}{30} = \frac{9}{30} = \frac{3}{10}$

* Bが当たりを引いたという条件の下で、Aも当たりを引いている条件付き確率: $\frac{P(A当たり \cap B当たり)}{P(B当たり)} = \frac{\frac{1}{15}}{\frac{3}{10}} = \frac{1}{15} \times \frac{10}{3} = \frac{10}{45} = \frac{2}{9}$

(4)

* 1等(100円)を引く確率: $\frac{1}{20}$

* 2等(50円)を引く確率: $\frac{2}{20} = \frac{1}{10}$

* 3等(10円)を引く確率: $\frac{6}{20} = \frac{3}{10}$

* はずれ(0円)を引く確率: $\frac{20-1-2-6}{20} = \frac{11}{20}$

* 賞金の期待値: $100 \times \frac{1}{20} + 50 \times \frac{1}{10} + 10 \times \frac{3}{10} + 0 \times \frac{11}{20} = 5 + 5 + 3 + 0 = 13$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$

(2) $\frac{25}{216}$

(3) $\frac{2}{9}$

(4) 13