1から10までの数字が書かれたカードから2枚を選ぶ。選んだ2枚のカードの積が4の倍数であるという条件の下で、選んだ2枚のカードの和が3の倍数になる条件付き確率を求める。

1. 問題の内容

1から10までの数字が書かれたカードから2枚を選ぶ。選んだ2枚のカードの積が4の倍数であるという条件の下で、選んだ2枚のカードの和が3の倍数になる条件付き確率を求める。

2. 解き方の手順

まず、1から10までのカードから2枚を選ぶ組み合わせの総数を求める。これは $_{10}C_2$ で計算できる。

$$_{10}C_2 = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$$

次に、選んだ2枚のカードの積が4の倍数になる組み合わせを考える。2枚のカードの数字を $a, b$ とすると、$a \times b$ が4の倍数になるのは、以下のいずれかの場合である。

* $a$ または $b$ が4の倍数である（4, 8）。

* $a$ と $b$ がともに偶数である（2, 6, 10）。ただし、上記の場合と重複するものがあるので注意。

具体的に組み合わせを列挙する。

* 4を含む組み合わせ: (4,1), (4,2), (4,3), (4,5), (4,6), (4,7), (4,9), (4,10) の8通り

* 8を含む組み合わせ: (8,1), (8,2), (8,3), (8,5), (8,6), (8,7), (8,9), (8,10) の8通り

* 2と6の組み合わせ: (2,6)

* 2と10の組み合わせ: (2,10)

* 6と10の組み合わせ: (6,10)

* 2と2, 6と6, 10と10はありえない。

* 2と4, 6と4, 10と4, 2と8, 6と8, 10と8はすでにカウント済み。

積が4の倍数となる組み合わせの総数は、8 + 8 + 1 + 1 + 1 = 21ではなく，重複を考慮して数える。

* 4を含む場合: (4,1), (4,2), (4,3), (4,5), (4,6), (4,7), (4,9), (4,10)の8通り

* 8を含む場合: (8,1), (8,2), (8,3), (8,5), (8,6), (8,7), (8,9), (8,10)の8通り

* 4と8は両方とも含む場合: (4,8) これはすでに重複して数えている

* 4を含まず、8を含まず、偶数同士の組み合わせ: (2,6), (2,10), (6,10)の3通り。

したがって、積が4の倍数になる組み合わせの総数は、8+8+3 = 19から、(4,8)の重複を除く。つまり、8+8+3 = 19通り。

次に、積が4の倍数であるという条件のもとで、和が3の倍数となる組み合わせを考える。上記19通りの組み合わせの中で、和が3の倍数となるものを探す。

* (4,2), (4,5), (4,8)

* (8,1), (8,4), (8,7), (8,10)

* (2,10)

(4,2), (4,5), (4,8), (8,1), (8,4), (8,7), (8,10), (2,10)を合計すると8通りになる

積が4の倍数でかつ和が3の倍数になる組み合わせは、

(4,2),(4,5),(4,8), (8,1), (8,4), (8,7), (8,10), (2,10), (6,3), (6,6), (6,9), (10,2), (10,5), (10,8)

和が3の倍数のケース：(1,2),(1,5),(1,8),(2,4),(2,7),(2,10),(3,6),(3,9),(4,5),(4,8),(5,7),(5,10),(6,9),(7,8),(8,10)

積が４の倍数のケース：(1,4),(2,4),(3,4),(4,5),(4,6),(4,7),(4,8),(4,9),(4,10),(1,8),(2,8),(3,8),(5,8),(6,8),(7,8),(8,9),(8,10),(2,6),(2,10),(6,10)

両方満たすケース：(4,2),(4,5),(4,8) (8,1),(8,4),(8,7),(8,10),(2,10),(6,3),(6,6),(6,9),

(10,2),(10,5),(10,8)=8+0+6 = 8

したがって、条件付き確率は、

$\frac{8}{19}$

3. 最終的な答え

$\frac{8}{19}$