大人5人と子供3人の合計8人がいる。 (1) 8人が一列に並ぶとき、子供3人が隣り合うような並び方は何通りあるか。 (2) 8人を2組に分ける方法は何通りあるか。ただし、どちらの組にも1人以上入っているものとする。

1. 問題の内容

大人5人と子供3人の合計8人がいる。

(1) 8人が一列に並ぶとき、子供3人が隣り合うような並び方は何通りあるか。

(2) 8人を2組に分ける方法は何通りあるか。ただし、どちらの組にも1人以上入っているものとする。

2. 解き方の手順

(1) 子供3人が隣り合う並び方について

子供3人を1つの塊として考える。

すると、大人5人と子供の塊1つで、合計6つのものを並べることになる。

これらは $6!$ 通りの並び方がある。

また、子供3人自身も並び替えることができるので、$3!$ 通りの並び方がある。

したがって、子供3人が隣り合う並び方は $6! \times 3!$ 通りとなる。

$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$

$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

$6! \times 3! = 720 \times 6 = 4320$

(2) 8人を2組に分ける方法について

8人を2組に分けるとき、各組の人数は(1人, 7人), (2人, 6人), (3人, 5人), (4人, 4人)のいずれかである。

(1人, 7人)に分ける方法は $_8C_1 = 8$ 通り

(2人, 6人)に分ける方法は $_8C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$ 通り

(3人, 5人)に分ける方法は $_8C_3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ 通り

(4人, 4人)に分ける方法は $_8C_4 = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$ 通り

ただし、(4人, 4人)の組み合わせは、2つの組を区別しないので、2で割る必要がある。

よって、(4人, 4人)に分ける方法は $\frac{70}{2} = 35$ 通り

したがって、8人を2組に分ける方法は

$8 + 28 + 56 + 35 = 127$ 通り

3. 最終的な答え

(1) 4320

(2) 127