確率変数Xの確率分布が与えられたとき、その期待値、分散、標準偏差を求め、また、さいころを72回投げたときの1または2の目が出る回数の確率分布を求める問題です。

1. 問題の内容

確率変数Xの確率分布が与えられたとき、その期待値、分散、標準偏差を求め、また、さいころを72回投げたときの1または2の目が出る回数の確率分布を求める問題です。

2. 解き方の手順

[1]

(1) 期待値 $E(X)$ は、各変数の値とその確率の積の和で計算されます。

$E(X) = 0 \cdot \frac{4}{10} + 2 \cdot \frac{3}{10} + 7 \cdot \frac{2}{10} + 10 \cdot \frac{1}{10}$

$E(X) = 0 + \frac{6}{10} + \frac{14}{10} + \frac{10}{10}$

$E(X) = \frac{30}{10} = 3$

(2) 分散 $V(X)$ は、$E(X^2) - (E(X))^2$ で計算されます。

まず、$E(X^2)$ を計算します。

$E(X^2) = 0^2 \cdot \frac{4}{10} + 2^2 \cdot \frac{3}{10} + 7^2 \cdot \frac{2}{10} + 10^2 \cdot \frac{1}{10}$

$E(X^2) = 0 + \frac{12}{10} + \frac{98}{10} + \frac{100}{10}$

$E(X^2) = \frac{210}{10} = 21$

したがって、$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 21 - 3^2 = 21 - 9 = 12$

(3) 標準偏差 $\sigma(X)$ は、分散の平方根で計算されます。

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$

[2]

1つのサイコロを72回投げるとき、1または2の目が出る確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ です。

確率変数Xは二項分布に従うため、

$B(72, \frac{1}{3})$

3. 最終的な答え

[1]

(1) ア: 3

(2) イウ: 12

(3) エ: 2, オ: 3

[2]

カキ: 72, ク: 1/3