太郎さん、花子さん、次郎さん、月子さんの4人が先生とじゃんけんをする。先生は常に一定の手を出すとして、以下の確率および期待値を求める問題です。 (1) 1回目のじゃんけんで太郎さんが勝ち残る確率、ちょうど2人が勝ち残る確率、2人勝ち残ったときに太郎さんが勝ち残っている条件付き確率 (2) 2回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っている確率、次郎さんが勝ち残っていない確率、太郎さんと花子さんの2人だけが勝ち残っている確率、勝ち残っている生徒の人数の期待値 (3) 3回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っている確率、太郎さんと花子さんの少なくとも一方が勝ち残っていて、かつ次郎さんと月子さんの少なくとも一方が勝ち残っている確率

1. 問題の内容

太郎さん、花子さん、次郎さん、月子さんの4人が先生とじゃんけんをする。先生は常に一定の手を出すとして、以下の確率および期待値を求める問題です。

(1) 1回目のじゃんけんで太郎さんが勝ち残る確率、ちょうど2人が勝ち残る確率、2人勝ち残ったときに太郎さんが勝ち残っている条件付き確率

(2) 2回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っている確率、次郎さんが勝ち残っていない確率、太郎さんと花子さんの2人だけが勝ち残っている確率、勝ち残っている生徒の人数の期待値

(3) 3回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っている確率、太郎さんと花子さんの少なくとも一方が勝ち残っていて、かつ次郎さんと月子さんの少なくとも一方が勝ち残っている確率

2. 解き方の手順

(1)

先生が出す手をパーと仮定します（グー、チョキでも同様に考えられます）。太郎さんが勝ち残るためにはチョキを出す必要があります。他の生徒の手は何でも良いので、太郎さんが勝ち残る確率は $\frac{1}{3}$ です。 よって、ア=1, イ=3

1回目のじゃんけんでちょうど2人の生徒が勝ち残る確率は、$_4C_2 (\frac{1}{3})^2 (\frac{2}{3})^2$ で求められます。ここで $_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = 6$ ですので、$6 \times (\frac{1}{3})^2 \times (\frac{2}{3})^2 = 6 \times \frac{1}{9} \times \frac{4}{9} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}$ です。よって、ウ=$_4C_2$

1回目のじゃんけんでちょうど2人の生徒が勝ち残ったとき、太郎さんが勝ち残っている条件付き確率は、求める確率をPとすると

$P = \frac{太郎さんが勝ち残る確率かつちょうど2人が勝ち残る確率}{ちょうど2人が勝ち残る確率}$

太郎さんが勝ち残る確率かつちょうど2人が勝ち残る確率は、太郎さんが勝ち残ることを固定して、残りの3人の中から1人が勝ち残れば良いので、$_3C_1 (\frac{1}{3})^2 (\frac{2}{3})^2 = 3 (\frac{1}{9}) (\frac{4}{9}) = \frac{12}{81} = \frac{4}{27}$

したがって、$P = \frac{4/27}{8/27} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ です。

(2)

2回目のじゃんけんで太郎さんが勝ち残る確率を求めます。

1回目で太郎さんが勝ち残る確率は $\frac{1}{3}$ です。

1回目で太郎さんが勝ち残った場合、2回目で勝ち残る確率は $\frac{1}{3}$

1回目で太郎さんが勝ち残らなかった場合、2回目で勝ち残る確率は0

よって、太郎さんが2回目に勝ち残る確率は$\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$

次郎さんが勝ち残っていない確率は、$1- \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

花子さんが勝ち残っている確率は、$\frac{1}{9}$ 、月子さんが勝ち残っていない確率は、$\frac{2}{3}$

太郎さんと花子さんの2人だけが勝ち残る確率を求めます。

1回目に太郎さんと花子さんが勝ち残る確率は、$(\frac{1}{3})^2$

1回目に太郎さんと花子さんが勝ち残った場合、2回目に太郎さんと花子さんが2人とも勝ち残る確率は、$(\frac{1}{3})^2$

太郎さんと花子さんの2人だけが勝ち残る確率は、$(\frac{1}{3})^2 \times (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{81}$

2回目のじゃんけんの後、勝ち残っている生徒の人数の期待値を求めます。

0人の確率をP(0)、1人の確率をP(1)、2人の確率をP(2)、3人の確率をP(3)、4人の確率をP(4)とすると、期待値Eは

$E = 0 \times P(0) + 1 \times P(1) + 2 \times P(2) + 3 \times P(3) + 4 \times P(4)$

2回目のじゃんけんの後、残っている生徒は0,1,2,3,4人です。

太郎さんと花子さんの２人だけが勝ち残る確率は$\frac{1}{81}$ なので、他の人の組み合わせを考える。次郎と月子だけ残る確率も同じなので、$2 \times \frac{1}{81}$

太郎さんだけが勝ち残る確率は、$\frac{1}{9} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{81}$ なので、$4 \times \frac{4}{81} = \frac{16}{81}$

2人残る確率は、$\frac{1}{81} + \frac{1}{81} + \frac{1}{81} + \frac{1}{81} + \frac{1}{81} + \frac{1}{81} = \frac{6}{81}$

(3)

太郎さんが3回目のじゃんけんで勝ち残る確率を求めます。

太郎さんが2回目のじゃんけんで勝ち残る確率をP(A)とします。

P(A) = $\frac{1}{9}$

3回目のじゃんけんで太郎さんが勝ち残る確率P(B)は、P(A)を使って$P(B) = P(A) \times \frac{1}{3} = \frac{1}{27}$

太郎さんと花子さんの少なくとも一方が勝ち残っていて、かつ次郎さんと月子さんの少なくとも一方が勝ち残っている確率

太郎さんと花子さんが勝ち残っている確率、次郎さんと月子さんが勝ち残っている確率

3回目のじゃんけん後

3. 最終的な答え

(1) ア/イ = 1/3

ウ = $_4C_2$

エ/オ = 1/2

(2) カ/キ = 1/9

ク/ケ = 2/3

コサ/3^3 = 1/81

シ/ス =

(3) セ/ソタ =

チツテト/3^12 =