袋の中に白玉が2個、赤玉が4個入っている。1個取り出して色を確認し、元に戻さずに、もう1個取り出す。1回目に白玉を取り出す事象をA、1回目に赤玉を取り出す事象をB、2回目に赤玉を取り出す事象をCとする。条件付き確率 $P_A(C)$ と $P_B(C)$ を求める。

1. 問題の内容

袋の中に白玉が2個、赤玉が4個入っている。1個取り出して色を確認し、元に戻さずに、もう1個取り出す。1回目に白玉を取り出す事象をA、1回目に赤玉を取り出す事象をB、2回目に赤玉を取り出す事象をCとする。条件付き確率 $P_A(C)$ と $P_B(C)$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、条件付き確率の定義を確認します。

$P_A(C) = \frac{P(A \cap C)}{P(A)}$

$P_B(C) = \frac{P(B \cap C)}{P(B)}$

ここで、

$P(A)$ は1回目に白玉を取り出す確率です。

$P(B)$ は1回目に赤玉を取り出す確率です。

$P(A \cap C)$ は1回目に白玉、2回目に赤玉を取り出す確率です。

$P(B \cap C)$ は1回目に赤玉、2回目に赤玉を取り出す確率です。

$P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$P(B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

$P(A \cap C) = \frac{2}{6} \times \frac{4}{5} = \frac{8}{30} = \frac{4}{15}$

$P(B \cap C) = \frac{4}{6} \times \frac{3}{5} = \frac{12}{30} = \frac{2}{5}$

したがって、

$P_A(C) = \frac{P(A \cap C)}{P(A)} = \frac{\frac{4}{15}}{\frac{1}{3}} = \frac{4}{15} \times 3 = \frac{4}{5}$

$P_B(C) = \frac{P(B \cap C)}{P(B)} = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{2}{3}} = \frac{2}{5} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{5}$

3. 最終的な答え

$P_A(C) = \frac{4}{5}$

$P_B(C) = \frac{3}{5}$