2個の白玉と5個の赤玉が入った袋から、玉を1つ取り出して色を確認し、元に戻さずにさらに1つ玉を取り出す。 事象A: 1度目に取り出した玉が白である。 事象B: 1度目に取り出した玉が赤である。 事象C: 2度目に取り出した玉が赤である。 このとき、条件付き確率 $P_A(C)$ と $P_B(C)$ を求める。

1. 問題の内容

2個の白玉と5個の赤玉が入った袋から、玉を1つ取り出して色を確認し、元に戻さずにさらに1つ玉を取り出す。

事象A: 1度目に取り出した玉が白である。

事象B: 1度目に取り出した玉が赤である。

事象C: 2度目に取り出した玉が赤である。

このとき、条件付き確率 $P_A(C)$ と $P_B(C)$ を求める。

2. 解き方の手順

条件付き確率の定義より、

$P_A(C) = \frac{P(A \cap C)}{P(A)}$

$P_B(C) = \frac{P(B \cap C)}{P(B)}$

まず、$P(A)$ と $P(B)$ を求める。

$P(A) = \frac{2}{7}$ （1度目に白玉を取り出す確率）

$P(B) = \frac{5}{7}$ （1度目に赤玉を取り出す確率）

次に、$P(A \cap C)$ を求める。これは、1度目に白玉を取り出し、2度目に赤玉を取り出す確率である。

$P(A \cap C) = P(A) \times P(C|A) = \frac{2}{7} \times \frac{5}{6} = \frac{10}{42} = \frac{5}{21}$

次に、$P(B \cap C)$ を求める。これは、1度目に赤玉を取り出し、2度目に赤玉を取り出す確率である。

$P(B \cap C) = P(B) \times P(C|B) = \frac{5}{7} \times \frac{4}{6} = \frac{20}{42} = \frac{10}{21}$

よって、

$P_A(C) = \frac{P(A \cap C)}{P(A)} = \frac{\frac{5}{21}}{\frac{2}{7}} = \frac{5}{21} \times \frac{7}{2} = \frac{5}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{5}{6}$

$P_B(C) = \frac{P(B \cap C)}{P(B)} = \frac{\frac{10}{21}}{\frac{5}{7}} = \frac{10}{21} \times \frac{7}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{1}{1} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

$P_A(C) = \frac{5}{6}$

$P_B(C) = \frac{2}{3}$