$\triangle ABC$ において、$a=2$, $c=1+\sqrt{3}$, $B=30^\circ$ のとき、残りの辺の長さ $b$ と角の大きさ $A$, $C$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、$a=2$, $c=1+\sqrt{3}$, $B=30^\circ$ のとき、残りの辺の長さ $b$ と角の大きさ $A$, $C$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$b$ を求めるために余弦定理を用います。余弦定理より、

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$

ここに、$a=2$, $c=1+\sqrt{3}$, $B=30^\circ$ を代入します。$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ であるので、

$b^2 = 2^2 + (1+\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 2 \cdot (1+\sqrt{3}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$b^2 = 4 + (1 + 2\sqrt{3} + 3) - 2 \sqrt{3} (1+\sqrt{3})$

$b^2 = 4 + 4 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} - 6$

$b^2 = 2$

$b = \sqrt{2}$

次に、$A$ を求めるために正弦定理を用います。正弦定理より、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

$\sin A = \frac{a \sin B}{b}$

$a=2$, $b=\sqrt{2}$, $B=30^\circ$ を代入します。$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ であるので、

$\sin A = \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$A = 45^\circ$ または $A = 135^\circ$

$A=135^\circ$とすると、$A+B = 135^\circ+30^\circ = 165^\circ$ となり、$C = 180^\circ - 165^\circ = 15^\circ$ となります。このとき、 $a=2$, $c=1+\sqrt{3}$ なので、$a<c$ である必要があります。$A=135^\circ$, $C=15^\circ$ なので、$A>C$であり、$a>c$となる必要があります。したがって、$A=135^\circ$は不適です。

$A = 45^\circ$ とすると、$C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 45^\circ - 30^\circ = 105^\circ$

3. 最終的な答え

$b = \sqrt{2}$

$A = 45^\circ$

$C = 105^\circ$