円Oにおいて、ATは円Oの接線である。$\angle{ATC} = 50^\circ$のとき、$\angle{BOC}$の大きさ $x$ を求める。

1. 問題の内容

円Oにおいて、ATは円Oの接線である。$\angle{ATC} = 50^\circ$のとき、$\angle{BOC}$の大きさ $x$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、円周角の定理より、$\angle{BAC}$は円周角であり、$\angle{BOC}$はその中心角である。したがって、$\angle{BOC} = 2 \times \angle{BAC}$が成り立つ。つまり、$x = 2 \times \angle{BAC}$である。

次に、接弦定理を用いる。接弦定理より、$\angle{BAT} = \angle{BCA}$が成り立つ。

$\angle{BAT}$は、ATが接線なので、$\angle{BAT} = 50^\circ$である。したがって、$\angle{BCA} = 50^\circ$である。

$\triangle{ABC}$の内角の和は$180^\circ$であるので、$\angle{ABC} = 180^\circ - \angle{BAC} - \angle{BCA}$である。

ここで、$\angle{BAC} = 50^\circ$を用いると、$\angle{ABC} = 180^\circ - 50^\circ - 50^\circ = 80^\circ$である。

$x=2\times\angle BAC$の関係を使う。$\angle BAC=\angle BAT=50^\circ$であるので、$x=2\times 50^\circ = 100^\circ$。

3. 最終的な答え

100